Limit Fungsi Aljabar: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Limit Fungsi dan Contoh Soal Disertai Pembahasan Lengkap

Rangkuman Materi Limit Fungsi Aljabar disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Salam Sobat omahinfo,

Bagaimana rangkuman materi peluang terkait faktorial, permutasi, kombinasi, dan kejadian majemuk? Semoga saja memberikan Anda pemahaman lebih mendalam, tapi jika ada pertanyaan silahkan ketik di kolom komentar. Kali ini, aku akan menyajikan rangkuman materi limit dan contoh soal yang disertai pembahasan lengkap dan mudah untuk dimengerti. Dalam rangkuman materi limit matematika ini akan membahas tentang limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. 

Dalam kehidupan sehari-hari, Anda mungkin pernah mendengar seseorang mengatakan "Aku sudah sampai limit", ketika sedang berlari atau melakukan kegiatan lainnya. Kata limit bisa diartikan sebagai "batasan", jika dalam kasus diatas adalah batasan seseorang, tapi kadang juga bisa limit itu bisa ditingkatkan atau bisa dikatakan limit tak terhingga. Dalam materi limit juga akan mempelajari kedua hal tersebut.

Untuk lebih lengkap mengenai materi limit, silahkan pelajari materi yang disajikan dibawah ini. Tapi sebelumnya, untuk lebih memahami lebih mendalam. Mari kita pelajari dan pahami terlebih dahulu pengertian limit fungsi, dibawah ini.

Pengertian Limit

Limit secara singkat mempunyai arti pendekatan atau bisa dikatakan sebagai batas yang memanfaatkan konsep pendekatan fungsi untuk mendekati nilai tertentu yang mana kemudian dikenal dengan nama Limit Fungsi.

Kata “batas” dalam artian luas limit bisa berarti ‘dekat’, tapi tidak bisa dicapai. Limit harus didekati untuk mengetahui sebuah fungsi tidak hanya terdefinisikan oleh beberapa titik tententu, dan dapat dicari nilai yang mendekati sebuah fungsi.

Secara matematis konsep limit f(x) mendekati c sama dengan L, ditulis:

$\lim_{x\rightarrow a}f\left ( x \right )= L$

Artinya: jika x mendekati $a \left (  x\neq a\right )$, maka f(x) mendekati nilai L.

Bentuk-bentuk nilai limit yang hasilnya tidak terdefinisi:

$\frac{0}{0};0x\sim ;\frac{\sim }{\sim },\left ( \sim -\sim  \right )$

Tidak semua fungsi memiliki limit, sehingga bisa dikatakan jika suatu fungsi memiliki limit jika limit kiri sama dengan limit kanan. Pernyataan tadi bisa ditulis:

Teorema

$\lim_{x\rightarrow a^{-}}f\left ( x \right )= \lim_{x\rightarrow a^{+}}f\left ( x \right )$

Untuk membuktikan teorema limit fungsi diatas, perhatikan contoh dibawah ini. Silahkan perhatikan pembuktian Teorema diatas dengan contoh soal dibawah ini:

 

Contoh Soal 1

Tentukan hasil dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$

Pembahasan

Diketahui: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$

DItanya: Buktikan $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x^{2}-4}{x-2}$ ?

Jawab:

Fungsi $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$ terdefinisi untuk semua x bilangan real kecuali $\left ( x=2 \right )$. 

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x-2} \\$

$\rightarrow \frac{2^{2}-4}{2-2} \\$

$\rightarrow \frac{4-4}{2-2}\\$

$\rightarrow \frac{0}{0}$

Jadi hasilnya $\rightarrow \frac{0}{0}$ ini adalah bentuk tak tentu jadi terbukti $f\left ( x \right )$ diatas tidak terdifinisi untuk $\left ( x=2 \right )$.

Meskipun fungsi diatas tidak terdefinisi untuk $\left ( x=2 \right )$, akan tetapi ketika nilai x mendekati angka 2, maka fungsi diatas akan mendekati sebuah nilai. Kita bisa menentukan nilai dari limit fungsi diatas dengan menggunakan bagan seperti dibawah ini. (cek artikel dari ruang guru)

Limit Sebuah Fungsi Pada Titik Tak Terhingga

Limit ketika nilai dari x mendekati tak terhingga baik itu positif maupun negatif, ini menjelaskan jika selisih x dengan tak terhingga itu tidak bisa diukur karena bukan bilangan. Hal ini juga berlaku jika nilai x menjadi begitu besar untuk positif dan sanagat kecil untuk yang negatif.

Untuk memperjelas perhatikan contoh dibawah ini:

1. $f\left ( x \right )= \frac{3x}{x+1} \\ $
2. $f\left ( 100 \right )= \frac{300}{100+1}\rightarrow f\left ( 100 \right )= 2,9703\\ $
3. $f\left ( 1000 \right )= \frac{3000}{1000+1}\rightarrow f\left ( 1000 \right )= 2,997\\$
4. $f\left ( 10000 \right )= \frac{300}{100+1}\rightarrow f\left ( 10000 \right )= 2,9997\\$

Dari contoh diatas membuktikan bahwa semakin besar nilai dari x, maka nila $f(X)$nya akan mendekati angka 3, sehingga bisa dikatakan $\lim_{x \to \infty 0} f\left ( x \right )\doteq 3$.

 

Limit Barisan

Kalian pasti masih awam dengan limit barisan, maka sebelum itu perhatikan barisan ini: 2.89, 2.899, 2.8999, .... dst jika ini diteruskan akan nilai itu mendekati angka 2.9.

Jika kalian perhartikan dengan seksama contoh diatas merupakan sebuah barisan bilangan real/riil dan kita misalkan dengan huruf 'L', maka menjadi:

$\lim_{x \to \infty 0} x_{n}\doteq L$

Dimana untuk setiap bilanghan real/riil $\varepsilon >0$ terdapat bilangan asli n sehingga $\left|x_{n}-L \right|< \varepsilon $. Tapi tidak semua barisan mempunyai limit yang dikenal dengan sebutan konvergen, jika tidak mempunyai limit disebut divergen.

Limit barisan dan limit fungsi memiliki hubungan erat. Hal yang perlu kalian ketahui yaitu:

• Limit barisan hanya merupakan limit fungsi tak terhingga yang terdefinisikan pada bilangan asli.
• Limit suatu fungsi pada x, jika ada, sama dengan limit barisan $x_{n}\doteq f\left ( x+\frac{1}{n} \right )$

 

Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi aljabar bisa dikatakan akan kalian pelajari ketika membahas materi tentang analisis dan kalkulus yang merupakan metode untuk menentukan nilai fungsi, jika peubahnya mendekati suatu nilai.

Sebuah fungsi akan memetakan $f(x)$ untuk masing nilai dari $x$ dan mempunyai limit $L$ pada titik $p$ bila $F(X)$ 'dekat' pada L ketika $x$ dekan dengan $p$ atau bisa dikatakan nilai $f(x)$ akan semakin dnegan dengan Lpada saat $x$ mendekati $p$.

Jika $f(x)$ diterapkan terhadap masing-masing nilai masukan yang dekat pada $p$, hasilnya keluaran "sembarang" mendekati $L$. Jika nilai masukan mendekati $p$ ternyata dipetakan pada keluaran yang berbeda, maka fungsi $f(x)$ disebut tidak punya limit.

Dari penjelasan contoh pembuktian Teorema diatas bisa diuraikan secara umum bahwa limit berati batas, kemungkinan juga beberapa guru menjelaskan secara sederhana bahwa limit merupakan suatu pendekatan. 

Secara utuh bisa diambil kesimpulan limit sebuah fungsi $f(x)$ akan mendekati nilai tertentu apabila x mendekati nilai tertentu. Kata "mendekati" ini terbatas pada 2 bilangan positif sangat kecil yang mana dikenala dengan epsilon dan delta. ubungan itu terangkum dalam definisi limit seperti berikut ini:

Terorema Limit Utama

Jika $f(x)$ dan $g(x)$  adalah fungsi dan $k$ adalah konstanta, maka:

• $\lim_{x \to a}\left ( f\left ( x \right )+g\left ( x \right ) \right )= \lim_{x \to a}f\left ( x \right )+ \lim_{x \to a}g\left ( x \right )$
• $\lim_{x \to a}\left ( f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right )= \lim_{x \to a}f\left ( x \right )- \lim_{x \to a}g\left ( x \right )$
• $\lim_{x \to a}\left ( f\left ( x \right )\times g\left ( x \right ) \right )= \lim_{x \to a}f\left ( x \right )\times \lim_{x \to a}g\left ( x \right )$
• $\lim_{x \to a}\left ( \frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )} \right )= \left ( \frac{\lim_{x \to a}f\left ( x \right )}{\lim_{x \to a}g\left ( x \right )} \right ); dengan \ syarat \displaystyle \lim_{x \to a}g\left ( x \right )\neq 0$
• $\lim_{x \to a} k\times f\left ( x\right )= k\times \lim_{x \to a} f\left ( x\right ), dimana\ k= konstanta$
• $lim_{x \to a} \left [ f\left ( x \right ) \right ]^{n}= \lim_{x \to a}f\left ( x \right )^{n}; dengan \ "n" \ adalah \ bilangan \ bulat$
• $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f\left ( x \right )}= \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f\left ( x \right )}; dengan \lim_{x \to a} f\left ( x \right )\geq 0$

Sifat-sifat Fungsi Limit Aljabar

Apabila $n$ adalah bilangan bulat positif, k konstanta, dan dimana $f(X)$ dan $g(X)$ adalah fungsi yang memiliki limit di $ x\to c$, maka berlaku sifat-sifat di bawah ini:

• $\lim_{x \to c}x = c \\ $
• $\lim_{x \to c}kf\left ( x \right )=k\lim_{ x\to c}f\left ( x \right ) \\ $
• $\lim_{x \to c}\left [ f\left ( x \right )+g\left ( x \right )  \right ]= \lim_{x \to c} f\left ( x \right )+\lim_{x \to c}g\left ( x \right ) \\ $
• $\lim_{x \to c}\left [ f\left ( x \right )-g\left ( x \right )  \right ]= \lim_{x \to c} f\left ( x \right )-\lim_{x \to c}g\left ( x \right ) \\ $
• $\lim_{x \to c}\left [ f\left ( x \right )\times g\left ( x \right )  \right ]= \lim_{x \to c} f\left ( x \right )\times \lim_{x \to c}g\left ( x \right ) \\ $
• $\lim_{x \to c}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}= \frac{\lim_{x \to c}f\left ( x \right )}{\lim_{x \to c}g\left ( x \right )}, dengan \ syarat \ g\left ( x \right )g\neq 0 \\ $
• $\lim_{x \to c}\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{n}= \left [ \lim_{x \to c} f\left ( x \right ) \right ]^{n} \\$
• $\lim_{x \to c}\sqrt[n]{f\left ( x \right )}= \sqrt[n]{\lim_{x \to c}f\left ( x \right )}, dimana \ \lim_{x \to c} f\left ( x \right ) > 0 \\ $

Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar ($\lim_{x \to c}f\left ( x \right )$ dan $\lim_{x \to \sim }f\left ( x \right )$)

Ada beberapa cara untuk menyelesaikan limit aljabar baik $\lim_{x \to c}f\left ( x \right )$ dan $\lim_{x \to \sim }f\left ( x \right )$. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan satu persatu dibawah ini yaitu

• Metode Penyelesaian Limit Aljabar bentuk $\lim_{x \to c}f\left ( x \right )$ 
• Metode Penyelesaian Limit Aljabar bentuk $\lim_{x \to \sim }f\left ( x \right )$

Sebelumnya itu kita harus memperlajari beberapa metode dasar untuk menyelesaikan soal untuk limit fungsi aljabar, diantaranya

• Substitusi
• Pemfaktoran
• Merasionalkan Penyebut (Membagi dengan Pangkat Tertinggi Penyebut)
• Faktor Sekawan

Itulah 4 metode penyelesaian limit fungsi aljabar. Sebenarnya secara kata, mungkin sudah ada bayangan bagaimana metode-metode ini dalam menyelesaikan sebuah soal limit fungsi aljabar. Untuk lebih lengkapnya, simak penjelasan dibawah ini.

1. Metode Substitusi

Metode substitusi untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar bisa dikatakan sebagai metode paling sederhana dan simpel, karena hanya perlu mensubstitusikan nilai x ke fungsi f(x) secara langsung. Metode ini hanya bisa digunakan jika dan hanya jika hasil substitusi menghasilkan nilai tak tentu.

Contoh Soal 2

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}8x-5$

Pembahasan

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 2}8x-5$


Ditanya:  hasil $\displaystyle \lim_{x \to 2}8x-5$ ?

Jawab:

$\displaystyle \lim_{x \to 2} 8x-5$
Subtitusikan nilai $x=2$ ke $f(x)$
$\rightarrow 8.2-5$
$\rightarrow 18-5$
$\rightarrow 13$

Jadi nilai fungsi limit aljabar diatas adalah 13

 

2. Metode Pemfaktoran

Metode kedua untuk menyelesaikan soal limit fungsi aljabar adalah metode pemfaktoran. Sebenarnya baik metode substitusi dan pembfaktoran secara umum hampir sama dengan penerapan di materi persamaan kuadrat. Metode pemfaktoran ini juga memfaktorakan terlebih dahulu limit fungsi tersebut untuk memperoleh nilai pasti, kemudian subtisutikan nilai $x\to c$. Untuk lebih lengkapnya simak contoh soal dibawah ini.

Contoh Soal 3

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$

Pembahasan

Diketahui: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-4}$
?

Jawab:
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
Coret $(x-2)$, sehingga didapat
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 2}(x+2)$
$\rightarrow 2+2$
$\rightarrow 4$
 
Jadi nilai fungsi limit aljabar diatas adalah $4$

3. Metode Merasionalkan Penyebut (Membagi dengan Pangkat Tertinggi Penyebut)

Metode merasionalkan penyebut atau dengan membagi dengan pangkat tertinggi dari penyebutnya dengan ambil pangkat tertinggi penyebut dari persamaan/fungsi dari contoh soal. Untuk lebih lengkapnya, simak contoh soal berikut ini 

Contoh Soal 4

Tentukan limit fungsi aljabar dari $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{8x^{2}-5x+1}{2x^{2}-8x}$

Pembahasan

Diketahui:  $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{8x^{2}-5x+1}{2x^{2}-8x}$

Limit pangkat tertinggi penyebut adalah $2$

Ditanya: Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{8x^{2}-5x+1}{2x^{2}-8x}$?

Jawab:
$\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{8x^{2}-5x+1}{2x^{2}-8x}$
seperti yang diketahui bahwa pangkat terbesar dari penyebut adalah $2$, sehingga didapat

$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim }\frac{\frac{8x^{2}}{x^{2}}-\frac{5x}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{2x^{2}}{x^{2}}-\frac{8x}{x^{2}}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim }\frac{8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{8}{x}}$

Ingat Subtitusikan $x\to \sim$ , sehingga didapat
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim }\frac{8-\frac{5}{\sim}-\frac{1}{\sim}}{2-\frac{8}{\sim}}$

Perlu diingat kembali bahwa bilangan bulat yang dibagi dengan tak terhingga\ $(\sim)$ hasilnya adalah nol $(0)$, sehingga didapat
$\rightarrow \frac{8-0+0}{2-0}$
$\rightarrow\frac{8}{2}$
$\rightarrow4$
 
Jadi nilai fungsi limit aljabar diatas adalah $4$

4. Metode Perkalian Sekawan

Metode perkalian sekawan ini jika dan hanya jika hasil substitusi menghasilkan bentuk tak tentu atau irrasional dan dikhususkan untuk bentuk limit fungsi yang berbentuk akar. Sebenarnya secara tidak langsung untuk menyederhanakan penyebut/pembilang sehingga bisa dioperasikan. Untuk lebih jelasnya, simak contoh dibawah ini.

Contoh Soal 5

Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-\sqrt{16-x}}{x}$

Pembahasan

Diketahuit: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-\sqrt{16-x}}{x}$

Ditanya: Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-\sqrt{16-x}}{x}$

Jawab:
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-\sqrt{16-x}}{x}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-\sqrt{16-x}}{x}\times \frac{4+\sqrt{16-x}}{4+\sqrt{16-x}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{16-(16-x)}{x(4+\sqrt{16-x})}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{x(4+\sqrt{16-x})}$
 

Coret x, sehingga didapat
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{4+\sqrt{16-x}}$

Subtitusikan $x\to 0$, sehingga didapat
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{4+\sqrt{16-0}}$
$\rightarrow \frac{1}{4+4}$
$\rightarrow \frac{1}{8}$

Jadi nilai fungsi limit aljabar diatas adalah $\frac{1}{8}$

Rumus Cerdas Singkat Penyelesaiaan Limit Fungsi Aljabar

Secara tidak langsung, bisa dianggap untuk menyelesaikan $\displaystyle \lim_{x \to a}=\frac{f(x)}{g(x)}$, subtitusikan nilai $a$ ke fungsi. Jika hasilnya memberikan hasil "Tertentu", maka itu merupakan hasil yang dicari. Jika hasilnya memberikan nilai "Tak Tertentu", maka lakukan faktorisasi dll.

Rumus Cerdas Untuk $x\to 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{...+a_{2}x^{m+1}+a_{1}x^{m}}{...+b_{2}x^{n+1}+b_{1}x^{n}}$

1. Jika $m>n$, maka hasilnya=$0$
2. Jika $m=n$, maka hasilnya=$\frac{a_{1}}{b_{1}}$
3. Jika $m<n$, maka hasilnya=$\sim$  

Catatan m dan n dalah pangkat terkecil dari pembilang dan penyebut

 

Untuk lebih memahami penjelasan rumus cerdas sehingga tidak membutuhkan waktu banyak ketika mengerjakan contoh soal limit fungsi aljabar perhatikan dengan seksama contoh dibawah ini.

 

Contoh Soal 6 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$

Pembahasan Contoh Soal 6 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$?

Jawab:

Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$

Ingat $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$, maka didapat

$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(2x^{3})^{3}+3(2x)^{3}(3x)+3(2x^{3})(3x)^{2}+(3x)^{3}}{5x^{4}-3x^{3}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{8x^{27}+72x^{4}+54x^{5}+27x^{3}}{5x^{4}-3x^{3}}$

$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^{3}(8x^{24}+72x+54x^{2}+27)}{x^{3}(5x-3)}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{8x^{24}+72x+54x^{2}+27}{5x-3}$
$\rightarrow \frac{0+0+0+27}{0-3}$
$\rightarrow \frac{27}{-3}$
$\rightarrow -9$

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$ diubah dulu sehingga bisa didapat untuk $a_{1}$ dan $b_{1}$ didapat $\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{8x^{27}+72x^{4}+54x^{5}+27x^{3}}{5x^{4}-3x^{3}}$, sehingga didapat bahwa nilai $m=n$ yaitu $3$, maka berlaku
$\frac{a_{1}}{b_{1}}$
$\rightarrow  \frac{3^{3}}{-3.1}$
$\rightarrow \frac{27}{-3}$
$\rightarrow -9$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{3}+3x)^{3}}{(5x^{2}-3x)x^{2}}$ adalah $-9$

Contoh Soal 7 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$

Pembahasan Contoh Soal 7 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}(2x^{2}-3x)}{x^{2}(5x^{3}-2)}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^{2}-3x}{5x^{3}-2}$
$\rightarrow \frac{0-0}{0-2}$
$\rightarrow  \frac{0}{-2}$
$\rightarrow  0$

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$ didapat bahwa nilai $m>n$, maka hasilnya = $0$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2x^{4}-3x^{3}}{5x^{5}-2x^{2}}$ adalah $0$

Contoh Soal 8 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$

Pembahasan Contoh Soal 8 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x^{4}+12x^{3}+9x^{2}}{4x^{3}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}(4x^{2}+12x+9)}{x^{2}(4x)}$
$\rightarrow  \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4x^{2}+12x+9}{4x}$
$\rightarrow \frac{0+0+9}{0}$
$\rightarrow  \frac{9}{0}$
$\rightarrow \sim$

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$ didapat bahwa nilai $m<n$, maka hasilnya = $\sim$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(2x^{2}+3x)^{2}}{4x^{3}}$ adalah $\sim$

 

Rumus Cerdas Untuk $x\to \sim $

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{a_{1}x^{m}+a_{2}x^{m+1}+...}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n+1}+...}$

1. Jika $m>n$, maka hasilnya= $\sim $
2. Jika $m=n$, maka hasilnya= $\frac{a_{1}}{b_{1}}$
3. Jika $m<n$, maka hasilnya= $0$

Catatan: m dan n dalah pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut

Contoh Soal 9 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$

Pembahasan Contoh Soal 9 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{3x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{4x^{2}}{x^{2}}+\frac{5x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{4+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\rightarrow \frac{1-0-0}{4+0-0}$
$\rightarrow \frac{1}{4}$

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$ didapat bahwa nilai $m=n$ yaitu $2$, sehingga didapat
$\frac{a_{1}}{b_{1}}$
$\rightarrow \frac{1}{4}$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{x^{2}-3x-2}{4x^{2}+5x-1}$ adalah $\frac{1}{4}$

Contoh Soal 10 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$

Pembahasan Contoh Soal 10 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$
$\rightarrow \lim_{x \to \sim} \frac{\frac{2x^{3}}{x^{3}}+\frac{4x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{5x}{x^{3}}}$  
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim} \frac{2+\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x}+\frac{5}{x^{3}}}$
$\rightarrow \frac{2+0+0}{0+0}$
$\rightarrow \frac{2}{0}$
$\rightarrow \sim $

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$ didapat bahwa nilai $m>n$ yaitu $2$, maka hasilnya $\sim$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{2x^{3}+4x+1}{x^{2}+5x}$ adalah $\sim$

Rumus Cerdas Untuk Bentuk Akar

Rumus Cerdas dimana $x\to 0$ dan $m=n$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sqrt{m+bx}-\sqrt{n-cx}}=\frac{a(m+n)}{b+c}$

 

Untuk lebih jelas memahami bagaimana rumus ini berlaku, mari kita simak beberapa contoh soal dibawah ini

 

Contoh Soal 11 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$

Pembahasan Contoh Soal 11 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}\times \frac{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{4+x})+\sqrt{4-x}}{(4+x)-(4-x)}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x})}{2x}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}}{2}$
$\rightarrow \frac{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0}}{2}$
$\rightarrow  \frac{2+2}{2}$
$\rightarrow \frac{4}{2}$
$\rightarrow 2$

Rumus Cerdas

Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$ dimana nilai $m=n$, $a=1$, $m=2$, $n=2$, $b=1$, dan $c=1$ sehingga didapat
$\frac{a(m+n)}{b+c}$
$\rightarrow \frac{1(2+2)}{1+1}$
$\rightarrow \frac{4}{2}$
$\rightarrow 2$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}$ adalah $2$

Rumus Cerdas dimana $x\to \sim$

$\displaystyle \lim_{x \to \sim} \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+mx+n}$

1. Jika $a>p$, maka hasilnya = $\sim$
2. Jika $a=p$, maka hasilnya = $\frac{b-m}{2\sqrt{a}}$
3. Jika $a<p$, mka hasilnya = $-\sim$

Untuk lebih mengerti mengenai rumus cerdas diatas, simak contoh soal dibawah ini.

 

Contoh Soal 12 Limit Fungsi Aljabar

$\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{{4x^{2}}-4x-5})$

Pembahasan Contoh Soal 12 Limit Fungsi Aljabar

Diketahui: $\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{{4x^{2}}-4x-5})$

Ditanya: hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{{4x^{2}}-4x-5})$?

Jawab:
Cara Biasa
$\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{{4x^{2}}-4x-5})$
$\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{{4x^{2}}-4x-5})$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim}(2x+1-\sqrt{4x^{2}-4x-5})\times \frac{2x+1+\sqrt{4x^{2}-4x-5}}{2x+1+\sqrt{4x^{2}-4x-5}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim } \frac{4x^{2}+4+1-(4x^{2}-4x-5)}{2x+1+\sqrt{4x^{2}-4x-5}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim} \frac{8x+6}{2x+1+\sqrt{4x^{2}-4x-5}}$
$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \sim}\frac{\frac{8x}{x}+\frac{6}{x}}{\frac{2x}{x}+\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{4x}{x^{2}}-\frac{5}{x^{2}}}}$
$\rightarrow  \displaystyle \lim_{x \to 0\sim}\frac{8+\frac{6}{x}}{2+\frac{1}{x}+\sqrt{4-\frac{4}{x}}-\frac{5}{x^{2}}}$
$\rightarrow \frac{8+0}{2+0+\sqrt{4}}$
$\rightarrow \frac{8}{4}$
$\rightarrow 2$  

Rumus Cerdas
Dari soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}} = \displaystyle \lim_{x \to \sim } \frac{4x^{2}+4+1-(4x^{2}-4x-5)}{2x+1+\sqrt{4x^{2}-4x-5}}$, karena nilai $a=k$ yaitu 2 maka
$\frac{b-m}{2\sqrt{a}}$
$\rightarrow \frac{4-(-4)}{2\sqrt{4}}$
$\rightarrow \frac{4+4}{2+2}$
$\rightarrow \frac{8}{4}$
$\rightarrow 2$

Jadi nilai yang memenuhi limit fungsi aljabar $\displaystyle \lim_{x \to \sim }(2x+1-\sqrt{\sqrt{4x^{2}}-4x-5})$ adalah $2$

Limit Fungsi Trigonometri (Coming soon)