Pythagoras: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman materi teorema Pythagoras dan Contoh Soal

 

Bagaimana dengan rangkuman materi matematika SMP terkait perbandingan? Apakah ada yang mau ditanyakan? Jika ada, silahkan tinggalkan di kolom komentar paling bawah ya. Kali ini setelah materi perbandingan, akan dibahas tentang materi pythagoras baik itu mengenai rangkuman materi, contoh soal maupun pembahasan soal disertai beberapa cara cepat cerdas untuk menyelesaikannya.

Pythagoras atau teorema pythagoras bisa dikatakan sebagai sebuah aturan dalam matematika untuk menentukan salah satu panjang dari sebuah segitiga siku-siku. Masih ingatkan segita siku-siku sepeti apa? 

 

Ilustrasi Segitiga siku-siku, omahinfo.com

Kalo lupa, segitiga siku-siku secara sederhana adalah sebuah segitiga yang memiliki salah satu sudut 90 derajat. Jadi yang perlu diingat adalah terorema pythagoras ini berlaku hanya untuk segitiga siku-siku. Jadi tidak bisa digunakan untuk menentukan panjang sisi dari segitiga yang tidak bententuk siku-siku.

Secara sederdana teorema pythagoras itu merupakan materi matematika dasar dengan perluasan yang banyak. Untuk pengerjaan soal pun tidak terlalu rumit karena kedua sisi telah diketahui untuk mengetahui panjang sisi yang ditanyakan. Supaya lebih memahami dan mendalami terkait rangkuman materi pythagoras, contoh soal pythagoras serta pembahasan contoh soal pythagoras, mari disimak dan pahami hingga akhir.

Teorema Pythagoras

Sejarah nama Pythagoras berasal dari seorang filsuf dan ilmuan matematika Yunani Kuno 570-495 SM dari kepulauaan Samos. Sebenarnya beliau bukan penemu pertama terori ini, karena ilmu ini sudah digunkan oleh bangsa Mesir dan Babilonia sejak 1900-1600 SM terkait relasi antar sisi segitiga siku-siku, sebagai buktinya yang masih bisa dilihat sampai sekarang adalah Piramida.

Pythagoras tidak mengklaim teorema ini, tapi dia mendapatkan penghargaan karena telah menyebarkan ilmu ini serta melakukan pembuktian terkait teorema ini secara sistematis.

Teorema Pythagoras bisa dikatakan sebagai sebuah ilmu yang mempelajari relasi antara panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku.

Sifat Teorema Pythagoras

Sifat teorema Pythagoras bisa dikatakan sebagai syarat agar bisa menggunakan teorema ini. Syarat-syarat diantaranya:

1. Hanya berlaku untuk segitiga siku-siku
2. Minimal kedua sisinya diketahui terlebih dulu

Jika salah satu sisi tidak diketahui pasti ada kunci lain untuk mengetahui menggunkan cara lain.

Sebuah Segitiga bisa dikatakan segitiga siku-siku, jika dan hanya jika:

1. Memiliki dua sisi yang tegak lurus
2. Tidak memiliki sumbu putar
3. Salah satu sudutnya 90 derajat
4. Apabila kuadrat miring(hypotenusa) sama dengan jumlah kudrat sisi yang lain

Ilustrasi Identifikasi Segitiga Siku-siku

Setelah dilihat, akan didapat 3 sisi yaitu sisi Alas, sisi Tegak dan sisi Miring. Secara sederhana, sisi alas merupakan sisi yang horisontal, sisi tegak merupakan sisi yang vertikal dan sisi miring adalah sisi yang dihasilkan dari sisi tegak vertikal dan sisi alas horisontal atau ciri yang paling sederdanan adlah sisi yang mana posisinya miring.

Rumus Teorema Pythagoras

Rumus pythagoras dikatakan sebagai sebuah rumus yang didapat setelah menyimpulkan dari teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras sendiri menjelaskan hubungan antara sisi-sisi dalam sebuah segitiga siku-siku. Apakah sudah ada yang tahu bunyi dari Dalil Teorema Pythagoras?

Ilustrasi Rumus Pythagoras dari Segitiga Siku-siku

 

Jika lupa atau ada yang belum tahu, berikut ini bunyi dari dalil Teorema Pythagoras sebagai berikut:

Pada sebuah segita siku-siku, kuadrat sisi miring (hypotenusa) pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya.

Ilustrasi Rumus Pythagoras dari Segitiga Siku-siku dengan keterangan

Rumus pythagoras
$ c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Keterangan
$a$= tinggi
$b$= alas
$c$= sisi miring


Jika kalian mencari tinggi maupun alas dari sisi segita

• Rumus Pytagoras untuk mencari panjang alas, yaitu: 

$b^{2}=c^{2}-a^{2}$

• Rumus pythagoras untuk mencari tinggi segitiga, yaitu: 

$a^{2}=c^{2}-b^{2}$

 

Contoh Soal 1 Pythagoras

Diketahui sebuah segitiga yang siku-siku di A, dengan panjang sisi tegak AB= 4 cm dan panjang sisi alas AC= 3 cm. Tentukan panjang sisi miring BC?

Pembahasan Contoh Soal 1 Pythagoras

Diketahui:
                    misalkan: Panjang sisi tegak AB= 4 cm
                                       Panjang sisi alas AC= 3 cm

Ditanya: Panjang sisi miring BC?

Jawab:
$BC^{2}= AB^{2}+AC^{2}$
$\rightarrow BC^{2}= 4^{2}+3^{2}$
$\rightarrow BC^{2}= 16+9$
$\rightarrow BC^{2}=25$
$\rightarrow BC=\sqrt{25}$
$\rightarrow BC=5$

Jadi panjang sisi miring BC dari segitiga siku-siku ABC adalah 5 cm

Contoh Soal 2 Pythagoras

Sebuah Segitiga siku-siku KLM yang siku-siku di L, memiliki panjang sisi miring KM 10 cm dan panjang sisi tegak KL 8 cm. Tentukan panjang sisi alas LM dari segitga siku-siku KLM?

Pembahasan Contoh Soal 2 Pythagoras

Diketahui:
Segita siku-siku KLM
                              KM: 10 cm
                              KL: 8 cm

Ditanya: panjang LM?

Jawab
$KM^{2}= KL^{2}+LM^{2}$
$\rightarrow LM^{2}=KM^{2}-KL^{2}$
$\rightarrow LM^{2}=10^{2}-8^{2}$
$\rightarrow LM^{2}=100-64$
$\rightarrow LM^{2}=36$
$\rightarrow LM=\sqrt{36}$
$\rightarrow LM=6$

Jadi panjang sisi alas LM dari segitiga siku-siku KLM yaitu 6 cm

 

Manfaat Dalil Teorema Pythagoras

Secara fungsi dasar teorema pythagoras digunakan untuk menemukan panjang salah satu sisi segitiga yang tidak diketahui. Selain itu, dalil dari teorema pythagoras juga bisa digunakan untuk menentukan:

1. Panjang Diagonal Bidang/Sisi

Ilustrasi garis diagonal bidang/sisi pada persegi panjang

Dari gambar diatas diketahui sebuah persegi panjang ABCD, dimana AC adalah garis diagonal persegi. Jika diketahui panjang sisi-sisi persegi panjang, dengan memanfaatkan Teorema/dalil pythagoras maka bisa diketahui panjang diagonal AC sebagai berikut:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ atau $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$

 

Contoh Soal 3 Pythagoras

Sebuah persegi panjang ABCD. panjang persegi panjang 16 cm dan lebar persegi panjang 12 cm. Tentukan panjang diagonal bidang persegi panjang ABCD.

Pembahasan Contoh Soal 3 Pythagoras

Diketahui:
Panjang persegi panjang adalah sisi AB dan CD= 16 cm
lebar persegi panjang adalah sisi BC dan DA= 12 cm

Ditanya: Panjang diagonal sisi?

Jawab:

Perhatikan gambar dibawah ini:

 

Ilustrasi Diagonal Sisi Persegi Panjang ABCD

dengan memanfaatkan rumus pythagoras, untuk mencari panjang diagonal persegi panjang bisa dengan:
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$\rightarrow AC^{2}= 16^{2}+12^{2}$
$\rightarrow AC^{2}=256+144$
$\rightarrow AC^{2}=400$
$\rightarrow AC=\sqrt{400}$

$\rightarrow AC=20$

Jadi panjang diagonal sisi persegi panjang ABCD adalah 20 cm

2. Panjang Diagonal Ruang Kubus/Balok

Diagonal Ruang Balok ABCDEFGH

Garis diagonal ruang balok yaitu AG, CE, HB dan DF. Untuk mengetahui panjang garis diagonal ruang misal AG berdasarkan dalil teorema pythagoras yaitu
$AG^{2}=AC^{2}+CG^{2}$


Ket:
AG = diagonal bidang
CG = tinggi balok
AC = diagonal ruang

Karena AC adalah panjang diagonal bidang persegi panjang ABCD, berdasarkan dalil teorema Pythagoras didapat dengan
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

Ket:
AB: Panjang Balok
BC: Lebar Balok

Dimana $AG^{2}=AC^{2}+CG^{2}$ dan  $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$, maka bisa disimpulkan atau disederhanakan untuk mengetahui panjang diagonal Ruang Balok/Kubus yaitu
$\rightarrow AG^{2}=(AB^{2}+BC^{2})+CG^{2}$
$\rightarrow AG^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CG^{2}$
$\rightarrow AG^{2}=p^{2}+l^{2}+t^{2}$

Contoh Soal 4 Pythagoras

Terdapat sebuah balok ABCDEFGH, dimana memiliki panjang 12 cm, lebar 9 cm dan tinggi 8 cm. Tentukan panjang diagonal suangnya?

Pembahasan Contoh Soal 4 Pythagoras

Diketahui:

Balok ABCDEFGH
Misal panjang: p , lebar: l dan tinggi: t
           p=12
           l=9
           t=8

Ditanya: panjang diagonal ruang/AG?

Jawab

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diagonal Ruang Balok ABCDEFGH

Cara Biasa

Untuk mencari panjang diagonal ruang AG, harus dicari dulu panjang diagonal bidang/sisi persegi panjang ABCD
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$\rightarrow AC^{2}= 12^{2}+9^{2}$
$\rightarrow AC^{2}=144+81$
$\rightarrow AC^{2}=225$
$\rightarrow AC=\sqrt{225}$
$\rightarrow AC=15$

Setelah diketahui panjang AC, dengan memanfaatkan terorema pythagoras segitiga siku-siku ACG didapat
$AG^{2} =AC^{2}+CG^{2}$
$\rightarrow AG^{2}=15^{2}+8^{2}$
$\rightarrow AG^{2}=225+64$
$\rightarrow AG^{2}=289$
$\rightarrow AG=\sqrt{289}$
$\rightarrow AG=17$

Cara Cepat Cerdas

$\rightarrow AG^{2}=p^{2}+l^{2}+t^{2}$
$AG^{2} =12^{2}+9^{2}+8^{2}$
$\rightarrow AG^{2} =144+81+64$
$\rightarrow AG^{2}=289$
$\rightarrow AG=\sqrt{289}$
$\rightarrow AG=17$

Jadi panjang diagonal ruang balok ABCDEFGH adalah 17 cm

Menentukan Jenis Sebuah Segitiga dari Rumus Teorema Pythagoras

Diatas sudah dijelaskan, rumus pythagoras bisa dipakai untuk mencari panjang sisi dari segitiga siku-siku, tapi juga bisa untuk menentukan jenis dari sebuah segitiga.

Jadi bagaimana cara menentukan jenis segitiga dengan rumus pythagoras? Apakah sebuah segitiga itu segitiga siku-siku, segitiga lancip, maupun segitiga tumpul.

Cara menentukan jenis segitiga sebenarnya cukup sederhana yaitu dengan membandingkan kuadrat sisi miring dengan jumlah dari kuadrat sisi alas dan sisi tegak (jumlah sisi penyiku).

Dimisalkan a: sisi alas, b sisi tegak dan c: sisi miring

1. Jika $c^{2}< a^{2}+b^{2}$, dikenal sebagai segitiga lancip
2. Jika $c^{2}= a^{2}+b^{2}$, dikenal sebagai segitiga siku-siku
3. Jika $c^{2}> a^{2}+b^{2}$, dikenal sebagai segitiga tumpul

Contoh Soal 5 Pythagoras

Sebuah segitiga ABC dimana siku-siku di B dengan panjang sisi AB 5 cm, panjang sisi BC 10 cm dan panjang AC 14 cm. Tentukan jenis segitiga ABC?

Pembahasan Contoh Soal 5 Pythagoras

Diketahui: Segitiga siku-siku ABC
                    AB= 5
                    BC= 10
                    AC= 14

Ditanya: Tentukan jenis segitiga?

Jawab:
$AC^{2} =20^{2}$
$\rightarrow AC^{2} =400$

$AB^{2}+BC^{2}=5^{2}+10^{2}$
$\rightarrow AB^{2}+BC^{2}=25+100$
$\rightarrow AB^{2}+BC^{2}=125$

Sehingga didapat AC^{2}> AB^{2}+BC^{2}, sehingga dapat diketahui bahwa segitiga ABC adalah segitiga tumpul.

Triple/Tripel Pythagoras

Ilustrasi Tripel Pythagoras

 

Triple pythagoras atau yang sering ditulis dengan tripel pytagoras secara sederhana bisa dikatakan sebagai sebuah kelompok bilangan yang terdiri dari 3 bilangan asli (a, b dan c) yang memenuhi rumus pythagoras $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ sehingga menyatakan suatu segitiga tersebut siku-siku.

Secara umum, tripel pythagoras bisa disimpulkan secara sederhana sebagai tiga buah bilangan asli yang memenuhi rumus pythagoras. Perlu diketahui bahwa tripel pythagoras dibagi menjadi 2 macam yaitu: 

 

Triple/Tripel Pythagoras Primitif

Tripel pythagoras primitif bisa dikatakan sebagai tripel pythagoras yang mana seluruh bilangannya mempunyai FPB (Faktor Persekutuan Besar) sama dengan 1. Contoh tripel pythagoras primitif adalah 3, 4,  5; 5, 12, 13 dll. Untuk lebih jelasnya simak tabel dibawah ini:

No	a	b	c	$a^{2}$	$b^{2}$	$c^{2}$
1	3	4	5	9	16	25
2	5	12	13	25	144	169
3	8	15	17	49	225	289
4	7	24	25	49	576	625
5	20	21	29	400	441	841
6	12	35	37	144	1225	1369
7	9	40	41	81	1600	1681
8	28	45	53	784	2025	2809
9	11	60	61	121	3600	3721
10	16	63	65	256	3969	4225
11	33	56	65	1089	3136	4225
12	48	55	73	2304	3025	5329
13	13	84	85	169	7056	7225
14	36	77	85	1296	5929	7225
15	39	80	89	1521	6400	7921
16	65	72	97	4225	5184	9409

Triple/ Tripel Pythagoras Non-Primitif

Tripel Pythagoras Non-Primitf bisa dikatakan sebagai tripel pythagoras yang mana seluruh bilangannya mempunyai FPB tidak hanya sama dengan 1 dan merupakan kelipatan dari tripel pythagoras primitif. Cotoh tripel pythagoras non-primitif adalah 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; 15, 20, 25; dll

Tipe	a	b	$a^{2}-b^{2}$	$2ab$	$a^{2}+b^{2}$	$Tripel\\ Pythagoras$	$\times 2$	$\times 3$	$\times 4$	$\times 5$
I	2	1	3	4	5	3, 4, 5	6, 8, 10	9, 12, 15	12, 15, 20	15, 12, 25
II	3	2	5	12	13	5, 12, 13	10, 24, 26	15, 36, 39	20, 48, 52	25, 60, 65
	3	1	8	6	10	8, 6, 10	16, 12, 20	24, 18, 30	32, 24, 40	40, 30, 50
III	4	3	7	24	25	7, 24, 25	14, 48, 50	21, 72, 75	28, 96, 100	35, 120, 125
	4	2	12	16	20	12, 16, 20	24, 32, 40	36, 48, 60	48, 64, 80	60, 80, 100
	4	1	15	8	17	8, 15, 17	16, 30, 34	24, 45, 51	32, 60, 68	40, 75, 85
IV	5	4	9	40	41	9, 40, 41	18, 80, 82	27, 120, 123	36, 160, 164	45, 200, 205
	5	3	16	30	34	16, 30, 34	32, 60, 64	48, 90, 102	64, 120, 136	80, 150, 170
	5	2	21	20	29	21, 20, 29	42, 40, 58	63, 60, 87	84, 160, 232	210, 200, 290
	5	1	24	10	26	24, 10, 26	48, 20, 52	72, 30, 78	96, 40, 104	120, 50, 130

 

 

Perbandingan Sisi Segitiga Siku-siku Untuk Sudut $30^{o}$, $45^{o}$ dan $60^{o}$

Ilustrasi Sisi Segitiga Siku-siku Untuk Sudut $30^{o}$, $45^{o}$ dan $60^{o}$

Dari gambar diatas dimisalkan untuk c= sisi miring dan a,b adalah sisi penyiku segitiga (salah satu sisi alas dan salah satu lainnya sisi tegak).

Sudut A	a: b: c
$30^{o}$	1: $\sqrt{3}$: 2
$45^{o}$	1: 1: $\sqrt{1}$
$60^{o}$	$\sqrt{3}$: 1: 2

Trigonometri

Pada pembelajaran trigonometri dikenal beberapa istilah sinus (sin), cosinus (cos) dan tangen (tan).

Ilustrasi Pythagoras pada Trigonometri

Sudut di A
$sin A=\frac{hadapan}{miring}=\frac{a}{c}$
$con A=\frac{dekatan/alas}{miring}=\frac{b}{c}$
$tan A=\frac{hadapan}{dekatan}=\frac{a}{b}$

Sudut di B
$sin B=\frac{hadapan}{miring}=\frac{b}{a}$
$cos B=\frac{dekatan/alas}{miring}=\frac{a}{c}$
$tan B=\frac{hadapan}{dekatan}=\frac{b}{a}$, dst

 

Berikut ini tabel nilai sin, cos dan tan untuk sudut $0^{o}$, $30^{o}$, $45^{o}$, $60^{o}$, dan $90^{o}$

Sudut	Nilai Sin	Nilai Cos	Nilai Tan
$0^{o}$	0	1	0
$30^{o}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$45^{o}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{1}$	1
$60^{o}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^{o}$	1$	0	$\sim$

 

Penerapan Konsep Pythagoras

Berikut ini beberapa contoh soal aplikasi dalil/hukum teorema Pythagoras yang ditemui pada kehidupan. Ternyata ada begitu banyak manfaatnya, jadi mempelajari pythagoras juga penting untuk kehidupan sehari-hari

Contoh Soal 6 Pythagoras

Sebuah segitiga ABC siku-siku di B, Jika panjang AC 30 cm dan panjang BC 24 cm, maka tentukan panjang AB?

Pembahasan Contoh Soal 6 Pythagoras

Diketahui:
AB= 30 cm
BC= 24 cm

Ditanya: AB?
Jawab:

Cara Biasa

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$\rightarrow AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}$
$\rightarrow AB^{2}=30^{2}-24^{2}$
$\rightarrow AB^{2}= 900-576$
$\rightarrow AB^{2}=324$
$\rightarrow AB=\sqrt{324}$
$\rightarrow AB=18$

Cara Cepat Cerdas

Dengan memanfaatkan terkait Tripel Pythagoras baik primif maupun non-primitif. Dari kedua data panjang sisi bisa dibagi dengan angka 6. Angka 6 ini didpat dari FPB dari 30 dan 24. Lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

Ilustrasi cara cerdas mengerjakan contoh soal pythagoras 6

Dari ilustrasi gambar diatas didapat panjang AB= 3x6= 18

Jadi panjang AB dari segitiga siku-siku ABC adalah 18 cm

Contoh Soal 7 Pythagoras

Diketahui Segitiga DEF siku-siku di E. Jika panjang DE 10 cm dan panjang EF 24 cm. Tentukan panjang DF?

Pembahasan Contoh Soal 7 Pythagoras

Diketahui:
DE= 10 cm
EF= 24 cm

Ditanya: DF?

Jawab

Cara Biasa

$DF^{2}=DE^{2}+EF^{2}$
$\rightarrow DF^{2}=10^{2}+24^{2}$
$\rightarrow DF^{2}=100^{2}+576^{2}$
$\rightarrow DF^{2}=676$
$\rightarrow DF=\sqrt{676}$
$\rightarrow DF=26$

Cara Cepat Cerdas

Dengan memanfaatkan terkait Tripel Pythagoras baik primif maupun non-primitif. Dari kedua data panjang sisi bisa dibagi dengan angka 10. Angka 2 ini didpat dari FPB dari 10 dan 24. Lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

Ilustrasi cara cerdas mengerjakan contoh soal pythagoras 7

Dari penjelasan gambar diatas didapat DF= 2x13= 26


Jadi panjang DF dari segitiga siku-siku DEF adalah 26 cm

 

Contoh Soal 8 Pythagoras

Terdapat sebuah tangga yang disandarkan pada sebuah tembok. Jika panjang tangga itu 10 meter dan tinggi temboknya 8 meter. Hitunglah jarak kaki tangga dengan temboknya.

Pembahasan Contoh Soal 8 Pythagoras

Diketahui:
misal:
panjang tangga: c= 10
tinggi tembok: b= 8

Ditanya: Jarak tangga dengan tembok?

Jawab:
Misal jarak tangga ke tembok: a
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
$\rightarrow a^{2}=c^{2}-b^{2}$
$\rightarrow a^{2}=10^{2}-8^{2}$
$\rightarrow a^{2}=100-64$
$\rightarrow a^{2}=36$
$\rightarrow a=\sqrt{36}$
$\rightarrow a=6$

Jadi jarak kaki tangga ke tembok adalah 6 meter

Contoh Soal 9 Pythagoras

Keliling belah ketupat ABCD adalah 100 cm dan panjang diagonal AC 48 cm. Tentukan panjang diagonal BD?

Ilustrasi Contoh soal pythagoras terkait belah ketupat

Pembahasan Contoh Soal 9 Pythagoras

Diketahui
Keliling belah ketupat:K = 100 cm
Panjang diagonal AC= 48

Ditanya: Panjang diagonal BD?

Jawab:
Keliling belah ketupat:
$K=4xs$
$\rightarrow s=\frac{K}{4}$
$\rightarrow s=\frac{100}{4}$
$\rightarrow s=25$

Perhatikan ilustrasi gambar dibawah ini:
$AO=\frac{1}{2}AC$
$\rightarrow AO=\frac{48}{2}$
$\rightarrow AO=24$

Untuk mencari panjang diagonal BD. Tentukan terlebih dahulu panjang BO yaitu
$BO^{2}=AB^{2}-AO^{2}$
$\rightarrow BO^{2}=25^{2}-24^{2}$
$\rightarrow BO^{2}=625-576$
$\rightarrow BO^{2}=49$
$\rightarrow BO=\sqrt{49}$
$\rightarrow BO=7$

Panjang diagonal $BD=2xBO$
$\rightarrow Panjang diagonal BD=2x7$
$\rightarrow Panjang diagonal BD=14$

Jadi panjang diagonal BD=14 cm