Lingkaran: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman materi lingkaran untuk SMP

Sebelum kita masuk ke materi lingkaran, apakah ada yang mau ditanyakan terkait materi sebelumnya yaitu phytagoras. Jika ada pertanya bisa tulis di kolom komentar dibawah artikel ini.

Dalam kehidupan bermasyarakat istilah lingkaran sangatlah tidak asing untuk ditemukan, misalnya roda sepeda, roda motor, roda mobil, kincir angin, uang koin, roti donat dll.

Ambillah sebuah benda yang berbentuk linkaran, kemudian tandai titik ditepi lingkaran itu dengan huruf A. Kemudian putar atau gelindingkan hingga mencapai titik A kembali, maka dipelorehlah satu putaran penuh yang dikenal dengan keliling lingkaran benda tsb.

Lingkaran bisa dikatakan sebagai kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup yang mana titik-titik tersebut memiliki jarak yang sama dengan titik tertentu. Untuk lebih lengkapnya simak artikel ini yang mana akan menjelaskan rangkuman materi lingkaran disertai dengan contoh soal serta pembahasan

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan dari titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tsb mempunyai jarak yang sama dengan suatu titik tertentu. Suatu titik tertentu dikenal dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak sama dikenal dengan jari-jari lingkaran.

Diameter lingkaran adalah jarak dari suatu titik di tepi lingkaran dengan titik di tepi lingkaran lain yang melewati titik pusat lingkaran. Nilai diamter sendiri adalah 2 kali jari-jari lingkaran.  Untuk lebih lengkapnya, perhatikan gambar dibawah ini.

Lingkaran di titik O

Nantinya pada setiap rumus lingkaran, tidak akan pernah lepas dengan lambang $\Pi$ atau yang dikenal dengan nama "phi" yang mempunyai nilai  $3,14\ atau\ \frac{22}{7}$.

Untuk penggunaan nilai $\Pi$, hal ini sangat tergantung dengan nilai jari-jari lingkaran. Jika nilai jari-jari lingkaran kelipatan dari 7 atau bisa dibagi dengan angka 7, disarankan pakai $\frac{22}{7}$, selain itu pakai $3,14$.

Unsur-Unsur Lingkaran

Dalam sebuah lingkaran ada beberapa unsur-unsur yang harus dikenali untuk memahami dan menyelsaikan beberaoa masalah terkait lingkaran diantarnya: titik pusat lingkaran, jari-jari lingkaran, diameter, tembereng, apotema dll. Untuk lebih memahami, lihat gambar dan penjelasan dibawah ini.

Ilustrasi Diameter dan Jari-jari Lingkaran

Jari-jari Lingkaran ($r$)

Jari–jari lingkaran adalah jarak/garis yang menghubungkan antara titik pusat dengan titik pada lengkungan lingkaran.

Ciri-ciri jari-jari lingkaran:

• Berupa sebuah ruas garis
• Menghubungkan titik pada lingkaran dengan titik pusat

Pada gambar di atas, jari–jari lingkaran berada pada garis OA, OB, OC dan OD.

Titik Pusat Lingkaran

Titik pusat lingkaran adalah titik yang berada tepat ditengah–tengah lingkaran. Pada gambar lingkaran di atas, titik pusat lingkaran terletak di huruf O.

Diameter Lingkaran ($d$)

Diameter lingkaran adalah garis lurus yang menghubungkan antara dua titik pada lengkungan lingkaran dan melewati titik pusat lingkaran.

Sehingga bisa disimpulkan jika jari–jari lingkaran mempunyai nilai setengah dari diameter atau diameter mempunyai nilai dua kali dari jari–jari, maka didapat rumusnya yaitu $d = 2r$.

Ciri-ciri diameter lingkaran:

• Merupakan sebuah ruas garis
• Menghubungkan dua titik pada sebuah lingkaran
• Melalui titik pusat

Pada gambar di atas, diameter lingkarannya adalah AB dan CD.

 

Ilustrasi Tali Busur dan Busur Lingkaran

Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah sebuar garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sembarang di lengkuran lingkaran. Busur lingkaran terbagi menjadi dua macam, antara lain: busur besar dan busur kecil.

Disebut sebagai busur besar apabila panjangnya lebih dari setengah lingkaran. Sedangkan busur kecil apabila panjangnya kurang dari setengah lingkaran.

Ciri-ciri busur lingkaran:

• Berupa kurva lengkung
• Jika kurang dari setengah lingkaran disebut busur kecil
• Jika lebih dari setengah lingkaran disebut busur besar

Pada gambar di atas, busur lingkaran berada di garis lengkung AC, AD, BD dan BC (batas lingkaran yang melengkung).

Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan kedua titik pada lengkungan lingkaran.

Ciri-ciri tali busur:

• Berupa sebuah ruas garis
• Menghubungkan dua titik pada lingkaran

Pada gambar di atas, tali busur lingkaran yaitu AC, AD, BD dan BC (bebentuk garis lurus didalam lingkaran).

 

Ilustrasi Tembereng dan Juring Lingkaran

Tembereng Lingkaran

Tembereng lingkaran adalah daerah yang terletak di dalam lingkaran yang telah dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur lingkaran.

Ciri-ciri tembereng lingkaran:

• Berupa daerah didalam lingkaran
• Dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran

Pada gambar di atas, tembereng lingkarang telah dibatasi oleh busur AD dan juga tali busur AD.

Juring Lingkaran

Juring lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari–jari dan busur lingkaran. Juring lingkarang juga terbagai menjadi dua macam. Antara lain: juring kecil dan juring besar.

Ciri-ciri juring lingkaran:

• Berupa sebuah daerah di dalam lingkaran
• Dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran
• Jari-jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaran

Pada gambar di atas, daerah juring lingkarannya adalah OBC.

Apotema Lingkaran

Apotema lingkaran adalah jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran. Garis apotema akan tegak lurus dengan tali busur.

Ciri-ciri:
Berupa sebuah ruas garis
Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur
Tegak lurus dengan tali busur

Pada gambar di atas, garis apotema berada di garis AH.

Sudut Keliling Lingkaran

Sudut keliling lingkaran adalah sebuah sudut yang terbentuk karena pertemuan antara dua tali busur dengan satu titik pada keliling lingkaran.

Pada gambar di atas, sudut keliling lingkaran adalah BAG

Sudut Pusat Lingkaran

Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang terbentuk dari perpotongan antara dua jari–jari pada titik pusat lingkaran.

Pada gambar di atas, sudut pusat lingkaran BAG

Rumus-rumus Lingkaran

Setelah mempelajari unsur-unsur pada lingkaran, maka sudah waktunya untuk mempelajari rumus-rumus yang terdapat pada lingkaran. Materi lingkaran dan rumusnya ini sudah dikenalkan sejak di Sekolah Dasar, hanya saja mungkin secara sekilas. Sehingga kurang begitu memahami secara mendalam. 

Rumus lingkaran yang nanti akan dipelajari mengenai luas dan keliling lingkaran jika diketahui jari-jari maupun diameternya serta beberapa soal pengembangan. Untuk lebih lengkapnya, simak penjelasan dibawah ini.

Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran adalah busur terpanjang pada sebuah lingkaran atau lebih sederhanyanya adalah panjang seluruh garis batas lingkaran. 

Misalnya bentuk lingkaran pada tengah lapangan basket. Kamu berdiri misal dititik A, kemudian berjalan berlawanan atau searah jarum jam pada batas lingkaran hingga menuju kembali ke titik A itulah yang dinamakan keliling lingkaran.

Untuk mengitung keliling lingkaran terdapat 2 cara yaitu jika diketahui jari-jari ($r$) atau jiak diketahui diameter ($d$).

Rumus keliling lingkaran jika diketahui jari-jari ($r$)

$K=2\times \Pi\times r$

Rumus keliling lingkaran jika diketahui diameter ($d$)

$K= \Pi\times d$

Keterangan:

$K$ adalah keliling lingkaran

$\Pi$ adalah konstanta $phi= 3,14\ atau\ \frac{22}{7}$

$r$ adalah jari-jari lingkaran

$d$ adalah diameter lingkaran

Perlu diketahui fakta hubungan diameter dan jari-jari lingkaran adalah

$d=2\times r$ atau $r= \frac{d}{2}$

Contoh soal Lingkaran (1)

Sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran A memeiliki panjang jari-jari 14 cm. Tentukan keliling lingkan tersebut.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (1)

Diketahui: $r= 14$ cm

Ditanya: $K$ ?

Jawab

Karena diketahui jari-jari lingkaran bisa dibagi dengan angka 7, maka nilai $\Pi$ yang dipakai $\frac{22}{7}$

$K=2\times \Pi\times r$

$K=2\times \Pi \times r$

$\rightarrow K=2\times \frac{22}{7} \times 14$

$\rightarrow K=2\times 22\times 2$

$\rightarrow K=2\times 44$

$\rightarrow K=88$

Jadi keliling lingkaran dengan titik pusat lingkaran di A yang memiliki jari-jari yaitu $88$ cm.

Contoh soal Lingkaran (2)

Sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran R memeiliki panjang jari-jari 50 cm. Tentukan keliling lingkan tersebut.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (2)

Diketahui: $r= 50$ cm

Ditanya: $K$ ?

Jawab

Karena diketahui jari-jari lingkaran tidak bisa bisa dibagi atau kelipatan angka 7, maka nilai $\Pi$ yang dipakai $3,14$

$K=2\times \Pi\times r$

$K=2\times \Pi \times r$

$\rightarrow K=2\times 3,14\times 50$

$\rightarrow K=2\times 157$

$\rightarrow K=314$

Jadi keliling lingkaran dengan titik pusat lingkaran di A yang memiliki jari-jari yaitu $314$ cm.

Contoh soal Lingkaran (3)

Tentukan panjang jari-jari lingkaran dan diameter lingkaran dengan titik pusat R, jika diketahui keliling lingkaran R adalah 125,6 cm.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (3)

Diketahui: K= 125,6 cm

Ditanya: jari-jari lingkaran ($r$) dan diameter lingkaran $d$?

Jawab
$K=2\times \Pi \times r$
$\rightarrow  125,6=2\times \Pi\times  r$
$\rightarrow  \frac{125,6}{2}= \Pi\times r$
$\rightarrow  62,8=\Pi\times r$
Karena 62,8 tidak bisa dibagi atau kelipatan angka $7$, maka kita menggunakan nilai $\Pi=3,14$
$\rightarrow  r=\frac{62,8}{\Pi}$
$\rightarrow r=\frac{62,8}{3,14}$
$\rightarrow r=20$ 

 

$d=2\times r$
$\rightarrow d=2\times 20$
$\rightarrow d=40$

Jadi jari-jari lingkaran yang mempunyai titik pusat di R dengan keliling $125,6$ cm yaitu $20$ cm dan diameternya $40$ cm.

Contoh soal Lingkaran (4)

Sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran S memiliki panjang diameter 28 cm. Tentukan keliling lingkaran tersebut.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (4)

Diketahui: $d= 28$ cm

Ditanya: $K$ ?

Jawab

Karena diketahui jari-jari lingkaran bisa dibagi dengan angka 7, maka nilai $\Pi$ yang dipakai $\frac{22}{7}$

$K=\Pi\times d$

$K=\Pi \times d$ 

$\rightarrow K=\frac{22}{7}\times 28$

$\rightarrow K=22\times 4$

$\rightarrow K=88$

Jadi keliling lingkaran dengan titik pusat lingkaran di S yang memiliki diameter $28$ cm yaitu $88$ cm.

Rumus Diameter Lingkaran

Dari rumus lingkaran yang diketahui diameternya yaitu $K= \Pi\times d$, maka bisa diketaui rumus diameter sebuah lingkaran, jika diketahui diameternya yaitu

$d=\frac{K}{\Pi}$

Contoh soal Lingkaran (5)

Tentukan panjang diameter lingkaran dengan titik pusat O, jika diketahui keliling lingkaran O adalah 110 cm.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (5)

Diketahui: K= 110 cm

Ditanya: diameter lingkaran ($d$)?

Jawab
$K=\Pi \times d$
$\rightarrow d=\frac{K}{\Pi }$
Karena $110$ bisa dibagi atau kelipatan angka 22, maka bisa menggunakan $\frac{22}{7}$
$\rightarrow d=\frac{110}{\frac{22}{7}}$
$\rightarrow d= \frac{110\times 7}{22}$
$\rightarrow d=5\times 7$
$\rightarrow d=35$

Bagaimana jika menggunakan nilai $\Pi=3,14$, Apakah hasilnya sama?
$d=\frac{K}{\Pi }$
$\rightarrow d=\frac{110}{3,14}$
$\rightarrow d=35,032$

Jika diasumsikan jika nilai belakang koma, jika kurang dari angka 5 dibulatkan kebawah dan berlaku sebaliknya maka hasilnya sama yaitu $35$.
 
Jadi diameter lingkaran yang mempunyai titik pusat di ) dengan keliling $110$ cm yaitu $35$ cm

Rumus Luas Lingkaran

Setelah mempelajari rumus keliling lingkaran, selanjutnya adalah mempelajari tentang rumus luas lingkaran. Luas lingkaran secara dasar dihitung menggunakan jari-jari lingkaran. Jika nantianya diketahui panjang diameternya, maka harus diubah kedalam bentuk jari-jari lingkaran yaitu dengan menggunakan $r=\frac{d}{2}$. Berikut rumus luas lingkaran

$L=\Pi \times r^{2}$ atau $L=\Pi \times r\times r$

Keterangan:

$L$ adalah luas lingkaran

$\Pi$ adalah konstanta $phi= 3,14\ atau\ \frac{22}{7}$

$r$ adalah jari-jari lingkaran

Catatan:

Ketika memproses rumus luas lingkaran dengan rumus $L=\Pi \times r^{2}$, selesaikan dulu hasil kuadrat dari jari-jari lingkaran baru dikalikan dengan nilai $\Pi$.

 

Kadang dalam sebuah soal terkait lingkaran ada pertanyaan untuk menentukan luas setengah lingkaran, luas seperempat lingkaran dan seterusnya. Rumus itu bisa ditentukan dengan membagi konstanta luas yang diinginkan seperti 2, 3, 4, 5 dst, sehingga bisa dirumuskan sebagai berikut:

• $L_{\frac{1}{2}}=\frac{\Pi \times r^{2}}{2}$
• $L_{\frac{1}{3}}=\frac{\Pi \times r^{2}}{3}$
• $L_{\frac{1}{4}}=\frac{\Pi \times r^{2}}{4}$
• $L_{\frac{1}{5}}=\frac{\Pi \times r^{2}}{5}$
• dan seterusnya.

Jika nanti terdapat sebuah soal untuk menentukan nilai jari-jari lingkaran dengan diketahui luas lingkarannya, maka bisa menggunkan rumus ini

$r=\sqrt{\frac{L}{\Pi }}$

Contoh soal Lingkaran (6)

Sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran di O memiliki jar-jari lingkaran 14 cm. Tentukan Luas lingkaran tersebut

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (6)

Diketahui: r= 14 cm

Ditanya: Luas lingkaran ($L$)?

Jawab
Karena $r=14$ yang mana angka $14$ kelipatan atau bisa dibagi dengan angka $7$, maka nilai  $\Pi=$ yang dipakai adalah $\frac{22}{7}$
$L=\Pi \times r^{2}$
$\rightarrow L=\frac{22}{7}\times 14^{2}$
$\rightarrow L=\frac{22}{7}\times 196$
$\rightarrow L=22\times 28$
$\rightarrow L=616$

Jadi Lingkaran lingkaran yang mempunyai titik pusat di O dengan jari-jari $14$ cm yaitu $616$ $cm^{2}$.

Contoh soal Lingkaran (7)

Sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran di O memiliki jar-jari lingkaran 15 cm. Tentukan Luas lingkaran tersebut

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (7)

Diketahui: r= 15 cm

Ditanya: Luas lingkaran ($L$)?

Jawab
Karena $r=15$ yang mana angka $15$ bukan kelipatan atau tidak bisa dibagi dengan angka $7$, maka nilai  $\Pi=$ yang dipakai adalah $3,14$
$L=\Pi \times r^{2}$
$\rightarrow L=3,14\times 15^{2}$
$\rightarrow L=3,14\times 225$
$\rightarrow L=706,5$

Jadi Lingkaran lingkaran yang mempunyai titik pusat di O dengan jari-jari $15$ cm yaitu $706,5$ $cm^{2}$.

Contoh soal Lingkaran (8)

Terdapat sebuat lingkaran yang memiliki titik pusat di O dengan memiliki diameter 42 cm. Tentukan Luas dan keliling lingkaran dari lingkaran tersebut.

Pembahasan Contoh soal Lingkaran (8)

Diketahui: d= 42

Ditanya: Luas (L) dan Keliling (K)?

Jawab
Karena diketahui panajang diameter, terlebih dahulu cari panjang jari-jari lingkaran
$r=\frac{d}{2}$
$\rightarrow r=\frac{42}{2}$
$\rightarrow r=21$

Karena panjang jari-jari lingkaran mepukan kelipatan 7 maka dipakai $\Pi=\frac{22}{7}$, sehingga didapat luasnya
$L=\Pi \times r^{2}$
$\rightarrow L=\frac{22}{7}\times 21^{2}$
$\rightarrow L= \frac{22}{7}\times 441$
$\rightarrow L=22\times 63$
$\rightarrow L=1368$

$K=2\times \Pi \times r$
$\rightarrow K=2\times \frac{22}{7}\times 21$
$\rightarrow K=2\times 22\times 3$
$\rightarrow K=132$

Jadi lingkaran dengan titik pusat O yang memiliki diameter 42 cm memiliki Luas = 1368 $cm^2$ dan keliling 132 cm.

Panjang Busur, Luas Juring dan Luas Tembereng

Telah dijelaskan terkait pengertian busur lingkaran, juring lingkaran dan tembereng lingkaran. Mungkin untuk mengingat kembali, bisa dibaca kembali untuk pengertiannnya. Untuk lebih mudahnya perhatikan gambar berikut ini: 

 

Ilustrasi Panjang Busur, Luas Juring dan Luas Tembereng

Jika terdapat diketahui besaran sudut, kita bisa menentukan panjang busur lingkaran, Luas Juring AOB dan Luas Tembereng. Untuk lebih jelas simak penjelasan dibawah ini:

Panjang Busur dan Luas Juring

Panjang Busur

Berikut ini cara untuk menentukan panjang busur sebagai berikut:

$\frac{Panjang\ Busur\ AB}{Keliling\ Lingkaran}=\frac{\alpha }{360^{0}}$

Luas Juring

Berikut ini cara untuk menentukan luas juring sebagai berikut:

$\frac{Luas\ Juring\ AOB}{Luas\ Lingkaran}=\frac{\alpha }{360^{0}}$

Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (9)

Jika sebuah lingkran dengan titik pusat di O dengan panjang jari-jari lingkaran 63 cm dan besar sudut BOC = $60^{0}$. Tentukan panjang busur BC dan luas Juring BOC?

Ilustrasi Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (9)

Pembahasan Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (9)

Diketahui:
                r = $63$
                sudut BOC = $60^{0}$

Ditanya: panjang busur BC dan luas juring BOC?

Jawab:

Panjang Busur BC dimisalkan BC, sehingga didapat
$\frac{BC}{K}=\frac{\alpha }{360^{0}}$
$\rightarrow BC=\frac{60^{0}}{360^{0}} \times K$
$\rightarrow BC=\frac{1}{6}\times 2\times \frac{22}{7} \times 63$
$\rightarrow BC=\frac{1}{3}\times 22\times 9$
$\rightarrow BC=3\times 22$
$\rightarrow BC= 66$

Luas juring BOC dimisalkan L BOC, sehingga didapat
$\frac{L\ BOC}{L}=\frac{\alpha }{360^{0}}$
$\rightarrow L\ BOC=\frac{60^{0}}{360^{0}} \times L$
$\rightarrow L\ BOC=\frac{1}{6}\times \frac{22}{7}\times 63\times 63$
$\rightarrow L\ BOC=\frac{1}{3}\times 11\times 9\times 63$
$\rightarrow L\ BOC=11\times 3\times 63$
$\rightarrow L\ BOC= 2079$

Jadi panjang busur BC adalah 66 cm dan luas Juring BOC 2079 $cm^2$.

Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (10)

Diketahui sebuah lingkaran dengan berpusat di O dengan besar sudut DOE $72^0$. Dimana panjang jari-jarinya 20 cm. Tentukan Luas juring DOE?

 

Ilustrasi Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (10)

Pembahasan Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (10)

Diketahui:
                $r= 20$
                Sudut DOE = $72^{0}$

Ditanya: Luas juring DOE?
Jawab:
Luas juring DOE dimisalkan L DOE, sehingga didapat
$\frac{L\ DOE}{L}=\frac{\alpha }{360^{0}}$
$\rightarrow L\ DOE=\frac{72^{0}}{360^{0}} \times L$
$\rightarrow L\ BOC=\frac{1}{5}\times 3,14 \times 20\times 20$
$\rightarrow L\ BOC=4\times 3,14\times 20$
$\rightarrow L\ BOC=80\times 3,14$
$\rightarrow L\ BOC= 251,2$
 
Jadi lingkaran dengan berpusat di O dengan besar sudut DOE $72^0$ dan jari-jari lingkarannya 20 cm memiliki luas juring 251,2 $cm^2$.
 

Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (11)

Diketahui panjang busur AB= 22 cm dan Sudut AOB= $45^0$. Tentukan panjang jari-jari lingkarang dengan menggunakan $\Pi =\frac{22}{7}$?

Ilustrasi Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (11)

Pembahasan Contoh Soal Panjang Busur dan Luas Juring (11)

Diketahui:
                Panjang busur AB= 22
                Sudut AOB= $45^0$
                $\Pi =\frac{22}{7}$?

Ditanya: jari- jari lingkaran ($r$)?

Jawab:
panjang busur AB dimisalkan AB, sehingga didapat
$\frac{AB}{K}=\frac{\alpha}{360^{0}}$
$\rightarrow \frac{AB}{2\times \Pi \times r}=\frac{\alpha}{360^{0}}$
$\rightarrow \frac{22}{2\Pi r}=\frac{45^{0}}{360^{0}}$
$\rightarrow 22=\frac{1}{8}\times 2\Pi r$
$\rightarrow 22=\frac{1}{4} \Pi r$
$\rightarrow \Pi r=22\times 4$
$\rightarrow \Pi r=88$
$\rightarrow r=\frac{88}{\Pi }$
$\rightarrow r=\frac{88}{\frac{22}{7}}$
$\rightarrow r=\frac{88\times 7}{22}$
$\rightarrow r=4\times 7$
$\rightarrow r=28$

Jadi jari-jari lingkaran yang memiliki titik pusat di O dengan panjang busur AB= 22 cm serta Sudut AOB= $45^0$ adalah 28 cm

 

Luas Juring Lingkaran Kasus Khusus

Bisa dikatakan ini akan berlaku jika diketahui nilai dari tali busur dan dan jari-jari lingkaran diketahui, untuk menyelesiakan soal sengan cara cepat cerdas sebagai berikut:
$Luas\ Juring\ =\frac{jari-jari\times panjang\ tali\ busur}{2}$
$Luas\ Juring\ OAB=\frac{OA\times AB}{2}$
(Gambar)

Contoh Soal Luas Juring (12)

Diketahui panjang jari-jari lingkaran (OA atau OB) 7 cm dan panjang tali busur AB adalah 4 cm. Tentukan Luas Juring AOB?
(Gambar)

Pembahasan Contoh Soal Luas Juring (12)

Diketahui: $OA/ OB=7$
$AB=4$

Ditanya: Luas Juring AOB?
Jawab
$\frac{Panjang\ Busur\ AB}{Keliling\ Lingkaran}=\frac{Luas\ Juring\ AOB}{Luas\ Lingkaran}$
$\rightarrow \frac{4}{2\times \Pi \times 7} =\frac{Luas\ Juring\ AOB}{\Pi \times 7^{2}} (\Pi dicoret)$
$\rightarrow  \frac{4}{2\times 7}=\frac{Luas\ Juring\ AOB}{7^{2}}$
$\rightarrow \frac{4}{14} =\frac{Luas\ Juring\ AOB}{49}$
$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB= \frac{4\times 49}{14}$
$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB=\frac{196}{14}$
$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB=14$

Cara Cepat Cerdas
Seperti yang telah dijelaskan diatas ada cara cepat cerdas untuk mendapatkan hasil yang tepat, sebagai berikut:
$Luas\ Juring\ AOB= \frac{OA\times AB}{2}$
$\rightarrow Luas\ Juring AOB= \frac{7\times 4}{2}$
$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB=\frac{28}{2}$
$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB= 14$

Jadi Luas juring AOB dengan jari-jari lingkaran 7 cm dan panjang tali busur 4 cm adalah $14\ cm^2$

Luas Tembereng

Ilustrasi Luas Tembereng

Jika diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat lingkaran, jari-jari lingkaran dan besarat sudut dan ditanya bagaimana cara menentukan luas tembereng, beikut ini cara unutk menentukan luas tembereng sebagai berikut:

$Luas\ Tembereng\ = Luas\ Juring\ AOB\ -\ Luas\ Segitiga\ AOB$

 

Cara Cepat Cerdas Luas Tembereng Lingkaran

Berikut ini rumus untuk menentukan luas tembereng lingkaran dengan lebih sederhana dan hasilnya pun tepat yaitu

$Luas\ Tembereng=\frac{2}{7}\times r\times r$ 

 

Rumus Luas Tembereng dalam Derajat ($\theta$)

Jika diketahui sudut segitiga bukan $90^0$ atau $\theta$ adalah sudut pusat juring dalam derajat, maka untuk untuk menentukan luas segitiganya sebagai berikut:

Ilustrasi Luas Tembereng dalam derajat

$L= \frac{1}{2}\times alas\times tinggi$

Sebelum itu tingginya didapat dengan memanfaatkan prinsip trigonometri $sin \theta =\frac{t}{r}\rightarrow t=r\times sin \theta$, sehingga didapat:

$\rightarrow L=\frac{1}{2} \times r\times r\times sin \theta$ 

$\rightarrow L=\frac{1}{2} \times r^{2}\times sin \theta$

Jadi luas tembereng dalam derajatnya seperti ini:

$Luas\ Tembereng\ = Luas\ Juring\ AOB\ -\ Luas\ Segitiga\ AOB$

$L=(\frac{\theta }{360^{0}}\times \Pi r^{2})-(\frac{1}{2}\times r^{2}\times sin \theta )$

$\rightarrow L= r^{2} [(\frac{\theta }{360^{0}}\times \Pi )-(\frac{sin \theta }{2})]$

Keterangan

$L$ = Luas Tembereng

$r$ =jari-jari lingkaran

$\theta$ = sudut pusat juring

Contoh Soal Luas Tembereng (13)

Diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat di O, dimana jari-jari lingkaran 28 cm dengan membentuk segitiga siku-siku BOC. Tentukan luas tembereng?

Ilustrasi Contoh Soal Luas Tembereng (12)

Pembahasan Contoh Soal Luas Tembereng (13)

Diketahui: $OB=OC=r=28$

           Sudut $90^0$ (karena segitiga siku-siku)

Ditanya: Luas tembereng?

Jawab:

$r=28$ cm

Karena segitiga siku-siku maka besar sudut BOC = $90^0$

 

Cara Pertama

$Luas\ Juring\ BOC\ = \frac{90^{0}}{360^{0}}\times \Pi\times r^{2}$

$Luas\ Juring\ BOC\ = \frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 28^{2}$

$\rightarrow Luas\ Juring\ BOC\ = 7\times 22\times 4$

$\rightarrow Luas\ Juring\ BOC\ = 616$

Karena segita siku-siku BOC, maka panjang alas=panjang tinggi= jari-jari lingkaran (r), maka didapat :

$Luas\ Segitga\ BOC\ = \frac{1}{2}\times alas\times tinggi$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ BOC\ = \frac{1}{2}\times r\times r$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ BOC\ = \frac{1}{2}\times 28\times 28$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ BOC\ = 14\times 28$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ BOC\ = 392$

Jadi Luas Tembereng

$Luas\ Tembereng\ = \ Luas\ Juring\ BOC\ - \ Luas\ Segitiga\ BOC$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 616-392$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 224$

Cara Kedua

$Luas\ Tembereng\ = \ Luas\ Juring\ BOC\ - \ Luas\ Segitiga\ BOC$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = (\frac{90^{0}}{360^{0}}\times \Pi\times r^{2})-(\frac{1}{2}\times alas\times tinggi)$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = (\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 28^{2})-(\frac{1}{2}\times 28\times 28)$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = (7\times 22\times 4) -(14\times 28)$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 616-392$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 224$

 

Cara Cepat Cerdas

$Luas\ Tembereng\ BOC=\frac{2}{7}\times r\times r$
$\rightarrow Luas\ Tembereng\ BOC= \frac{2}{7} \times 28\times 28$
$\rightarrow Luas\ Tembereng\ BOC= 2\times 4\times 28$
$\rightarrow Luas\ Tembereng\ BOC= 224$

Jadi luas tembereng dengan jari-jari 28 cm dan sudut siku-siku adalah $224 cm^2$

Contoh Soal Luas Tembereng (14)

Terdapat sebuah lingkaran dengan berpusat di O yang memiliki jari-jari lingkaran 14 cm. Jika besar sudut AOB $30^0$, maka tentukan luas tembereng?

Pembahasan Contoh Soal Luas Tembereng (14)

Diketahui: $r=14$

           sudut AOB= $30^0$

           

Ditanya: Luas Tembereng?

Jawab:

Cara Pertama

$Luas\ Juring\ AOB\ = \frac{30^{0}}{360^{0}}\times \Pi\times r^{2}$

$Luas\ Juring\ AOB\ = \frac{1}{12}\times \frac{22}{7}\times 14^{2}$

$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB\ = \frac{1}{6}\times 11\times 2\times 14$

$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB\ = \frac{308}{6}$

$\rightarrow Luas\ Juring\ AOB\ = 51,33$

Karena segita AOB $30^0$, untuk memperoleh luas segitiga dengankan ilmu trigonometri $sin 30^0 =\frac{t}{r}\rightarrow t=r\times sin 30^0$ sehingga didapat

$Luas\ Segitga\ AOB\ = \frac{1}{2} \times r^{2}\times sin 30^0$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ AOB\ = \frac{1}{2} \times 14^{2}\times sin 30^0$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ AOB\ = \frac{1}{2} \times 196^{2}\times \frac{1}{2}$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ AOB\ = \frac{1}{4} \times 196$

$\rightarrow Luas\ Segitga\ AOB\ = 49$

Jadi Luas Tembereng

$Luas\ Tembereng\ = \ Luas\ Juring\ AOB\ - \ Luas\ Segitiga\ AOB$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 51,33-49$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ = 2,33$

Cara Kedua

$Luas\ Tembereng\ AOB\ = r^{2} [(\frac{\theta }{360^{0}}\times \Pi )-(\frac{sin \theta }{2})]$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 14^{2} [(\frac{30^{0}}{360^{0}}\times \frac{22}{7})-(\frac{sin 30^{0} }{2})]$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 196 [(\frac{1}{12}\times \frac{22}{7})-(\frac{\frac{1}{2}}{2})]$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 196 (\frac{11}{42}-\frac{1}{4})$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 196 (\frac{22-21}{84})$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 196 (\frac{1}{84})$

$\rightarrow Luas\ Tembereng\ AOB\ = 2,33$

 

Jadi luas tembereng dengan jari-jari 14 cm dan sudut segitiga AOB= $30^0$ adalah $2,33 cm^2$ 

Luas Dua Tembereng Lingkaran

Berikut ini rumus untuk menentukan luas dua tembereng lingkaran dengan lebih sederhana dan hasilnya pun tepat dengan cara cepat cerdas yaitu

 

Luas Dua Tembereng Lingkaran

$Luas\ Dua\ Tembereng=\frac{4}{7}\times r\times r$

 

Contoh Soal Luas Tembereng (15)

Diketahui sebuah gambar dibawah ini dengan jari-jari lingkaran 14 cm. Tentukan Luas daerah yang diarsir?
(Gambar)

Pembahasan Contoh Soal Luas Tembereng (15)

Diketahui: $d=14$ cm

Ditanya: Total luas Tembereng yang diarsir?
Jawab:
$L_{diarsir}=2\times Luas\ Tembereng$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (L\ Juring\ AOB- L\Delta AOB)$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{90}{360}\times \Pi \times r^{2})-(\frac{1}{2}\times AO\times OB)}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 14^{2})-(\frac{14\times 14}{2})}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{1\times 22\times 2\times 14}{4})-\frac{196}{2}}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (\frac{616}{4}-98)$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (154-98)$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times 56$
$\rightarrow L_{diarsir} = 112$

Cara Cepat Cerdas
Dengan memanfaatkan cara cepat serdas yang telah dijelaskan diatas, maka didapat
$Luas\ yang\ diarsir= \frac{4}{7}\times r^{2}$
$\rightarrow =\frac{4}{7} \times 14^{2}$
$\rightarrow = 4\times 2\times 14$
$\rightarrow = 112$

Jadi luas daerah yang diarsir digambar diatas dengan jari-jari lingkaran 14 cm adalah $112 cm^2$

 

Contoh Soal Luas Tembereng (16)

Diketahui sebuah gambar dibawah ini dengan diameter 14 cm. Tentukan Luas daerah yang diarsir?

Ilustrasi Contoh Soal Luas Tembereng (16)

Pembahasan Contoh Soal Luas Tembereng (16)

Diketahui: $d=14$ cm

Ditanya: Total luas Tembereng yang diarsir?
Jawab:

karena $d=14$, maka
$r=\frac{d}{2}$
$\rightarrow r=\frac{14}{2}$
$\rightarrow r=7$

Sebelumnya kita ambil misal untuk menyelesaikan 1 bagian dari 4 bagian tembereng, seperti gambar dibawah ini:

$L_{diarsir}=2\times Luas\ Tembereng$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (L\ Juring\ AOB- L\Delta AOB)$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{90}{360}\times \Pi \times r^{2})-(\frac{1}{2}\times AO\times OB)}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7^{2})-(\frac{7\times 7}{2})}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times {(\frac{1\times 22\times 7}{4})-\frac{49}{2}}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (\frac{154}{4}-\frac{49}{2})$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times (\frac{77-49}{2})$
$\rightarrow L_{diarsir} = 2\times \frac{28}{2}$
$\rightarrow L_{diarsir} = 28$

Karena ada total 4 tembereng dengan bentuk sama, maka
$Total\ Luas\ Tembereng\ = 4\times L_{diarsir}$
$\rightarrow Total\ Luas\ Tembereng\ = 4\times 28$
$\rightarrow Total\ Luas\ Tembereng\ = 112$

Cara Cepat Cerdas
Dengan memanfaatkan rumus cara cepat cerdas luas dua tembereng lingkaran, maka didapat
$Luas\ Total\ Tembereng\ yang\ diarsir= 4\times \frac{4}{7}\times r^{2}$
$\rightarrow Luas\ Total\ Tembereng\ yang\ diarsir= 4\times \frac{4}{7} \times 7^{2}$
$\rightarrow Luas\ Total\ Tembereng\ yang\ diarsir= 4\times 4\times 7$
$\rightarrow Luas\ Total\ Tembereng\ yang\ diarsir= 112$

Jadi Luas total daerah yang diarsir adalah $112 cm^2$

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat dan sudut keliling bisa dikatakan sebagai unsur-unsur yang ada dalam bangun datar lingkaran yang mempunyai sifat-sifat tertentu.

Sudut pusat adalah sebuah sudut yang terbentuk dari 2 buah jari-jari lingkaran. Hal ini berarti sudut ini terbentuk dari pertemuan 2 kaki jari-jari di titik pusat lingkaran.

Sudut keliling adalah sebuah sudut yang dibatasi ole tali busur yang mana bertemu atau berpotongan di suatu titik lingkaran yang berada pada keliling lingkaran.

Sudut keliling dibedakan menjadi 2 yaitu sudut keliling dalam dan sudut keliling luar. Sudut keliling dalam adalah sebuah sudut yang mana tali busurnya berpootngan didalam lingkaran. Sedangkan sudut keliling luar adalah sudut yang mana tali busurnya berpotongan di luar lingkaran.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Besar sudut pusat sebuah lingkaran sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Perhatikan gambar diatas yang mana menjelaskan Linkaran yang berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari $OA=OB=OC=OD=r$. Dimisalkan $\angle AOC=\alpha$ dan $\angle COB=\beta$, sehingga didapat $\angle AOB=\alpha +\beta$

Perhatikan Segitiga BOD
$\angle BOD$ pelurus bagi $\angle BOC$, sehingga $\angle BOD = 180^0-\beta$. Segitiga BOD merupakan segitiga sama kaki, karena $OB=OD=r$, maka didapat
$\angle ODB = \angle OBD = \frac{1}{2}(180^0 – \angle BOD)$
Karena $\angle BOD=180^{0}-\beta $, maka diperoleh
$\angle ODB=\angle OBD=\frac{1}{2} [180^{0}-(180^{0}-\beta )]$
$\angle ODB=\frac{1}{2} \beta$

Perhatikan Segitiga AOD
$\angle AOD$ merupakan pelurus bagi $\angle AOC$, sehingga $\angle AOD=180^{0}-\alpha$ . Segitiga AOD merupakan segitiga sama kaki dikarenakan $OA=OD=r$, sehingga didapat
$\angle ODA= \angle OAD=\frac{1}{2}(180^{0}-\angle AOD)$
$\angle ODA= \angle OAD=\frac{1}{2} [180^{0}-(180^{0}-\alpha )]$
$\angle ODA=\angle OAD=\frac{1}{2} \alpha$

Dengan memanfaatkan persamaan $\angle ODB=\frac{1}{2}\beta$ dan $\angle ODA=\frac{1}{2}\alpha$, maka besar $\angle ADB$ yaitu
$\angle ADB=\angle ODA+\angle ODB$
$\rightarrow \angle ADB= \frac{1}{2}\beta +\frac{1}{2}\alpha$
$\rightarrow \angle ADB=\frac{1}{2}(\beta +\alpha )$
$\rightarrow \angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB$ atau
$\angle AOB=2\times \angle ADB$

Karena $\angle AOB$ adalah sudut pusat dan $\angle ADB$ adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap $\angle AB$ , maka dapat disimpulkan:

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah 2 kali sudut keliling.
$Sudut\ Pusat\ = 2\times Sudut\ Keliling$
$ Sudut\ Keliling\ = \frac{1}{2}\times Sudut\ Pusat$

Sifat-sifat Sudut Keliling

Berikut ini beberapa sifat-sifat sudut keliling yang harus diketahui, antara lain:

 

1. Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama mempunyai besar yang sama.

 

Sudut keliling yang menghadap busur yang sama mempunyai besar yang sama.

Sudut ACB dan sudut ADB adalah sudut keliling yang mengadap busr yang sama yaitu busur AB, sehingga didapat: $\angle ACB$ =$\angle ADB$

2. Besar sudut keliling yang menghadap diameter adalah siku-siku ($90^0$).

 

Besar sudut keliling yang menghadap diameter adalah siku-siku ($90^0$)

Sudut ACB dan ADB menghadap diameter, sehingga $\angle ACB\ = \angle ADB\ =\ 90^0$

3. Jumlah sudut-sudut keliling yang berhadapan sama dengan $180^0$.

 

• A berhadapan dengan C, maka $A+C=180^0$
• B berhadapan dengan D, maka $B+D=180^0$

$Sudut\ Pusat\ = 2\times Sudut\ Keliling$
$Sudut\ Keliling\ = \frac{1}{2}\times Sudut\ Pusat$

Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling (17)

Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di O memiliki besar $\angle ACB=35^0$ dan $\angle ACD=48^0$. Tentukan nilai besar $\angle AOB$ dan $\angle AOD$

Pembahasan Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling (17)

Diketahui: $\angle ACB=35^0$
       $\angle ACD=48^0$
       
Ditanya: $\angle AOB$ dan $\angle AOD$?
Jawab:

$Sudut\ Pusat\ = 2\times Sudut\ Keliling$
$\angle AOB=2\times \angle ACB$
$\rightarrow \angle AOB=2\times 35^{0}$
$\rightarrow \angle AOB=70^{0}$

$\angle AOD=2\times \angle ACD$
$\rightarrow \angle AOD=2\times 48^{0}$
$\rightarrow \angle AOD=96^{0}$

Jadi sudut pusat dari lingkaran yang berpusat di O memiliki besar sudut keliling $\angle ACB=35^0$ dan $\angle ACD=48^0$ yaitu $\angle AOB=70^{0}$ dan $\angle AOD=96^{0}$ .

Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling (18)

Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di P memiliki besar $\angle APB=120^0$. Tentukan nilai besar $\angle ACB$ ?

Pembahasan Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling (18)

Diketahui: $\angle APB=120^0$
              
Ditanya: $\angle ACB$?

Jawab:

$ Sudut\ Keliling\ = \frac{1}{2}\times Sudut\ Pusat$

$\angle ACB=\frac{1}{2}\times\times \angle APB$
$\rightarrow \angle ACB=\frac{1}{2}\times 120^{0}$
$\rightarrow \angle ACB=60^{0}$

Jadi sudut keliling $\angle ACB$ dari lingkaran yang berpusat di P memiliki besar sudut pusat $\angle APB=120^0$ adalah $60^{0}$.

Sudut Antara Dua Tali Busur

1. Tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Berikut ini rumus untuk menentukan besaran sudut dalam:
$\angle DEA=\frac{1}{2}(\angle DOA-\angle COB)$

2. Tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Berikut ini rumus untuk menentukan besaran sudut luar:
$\angle DEA=\frac{1}{2}(\angle DOA-\angle COB)$

Garis Singgung Lingkaran

Untuk menentukan panjang garis singgung lingkaran, sebelum itu pahami dulu materi teorema Pythagoras. Jika kalian masih bingung terkait materi teorema Pythagoras, bisa baca di sini.  Garis singgung lingkaran bisa dikatakan sebagai sebuah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik, yang mana d titik itu dikenal dengan titik dinamakan titik singgung lingkaran. Dimana setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap diameter atau jari-jari melalui titik singgungnya.

Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung yang melalui sebuah tiitk pada lingkaran yang tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang membentuk sudut $90^0$. Hanya dapat dibuat sebuah garis singgung lingkaran.

Ilustrasi Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Keterangan:
$r$= Jari-jari lingkaran
A= Titik pada lingkaran
g= garis singgung lingkarna

Garis singgung yang melalui sebuah titik di luar lingkaran, dapat dibuat dua buah garis singgung lingkaran yang panjangnya sama.

Ilustrasi Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Keterangan
$OB=OC=r$= jari-jari lingkaran
$A$= titik diluar lingkaran
$AB$=$AC$

Panjang Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Luar

Berikut ilustrasi dan rumus untuk menghitung panjang garis singgung lingkaran luar, yaitu

Garis Singgung Persekutuan Luar

$AB^{2}=PQ^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}$ atau

$AB^{2}=d^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}$ atau

$AB=\sqrt{d^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}} $

Keterangan:
$AB$= panjang garis singgung persekutuan luar
$PQ$ atau $d$= jarak antara dua pusat lingkaran
$r_{1}$= jari-jari lingkaran 1
$r_{2}$= jari-jari lingkaran 2

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Berikut ilustrasi dan rumus untuk menghitung panjang garis singgung lingkaran luar, yaitu

Garis Singgung Persekutuan Dalam

$AB^{2}=PQ^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}$ atau

$AB^{2}=d^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}$ atau

$AB=\sqrt{d^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}}$ 

Keterangan:
$AB$= panjang garis singgung persekutuan dalam
$PQ$ atau $d$= jarak antara dua pusat lingkaran
$r_{1}$= jari-jari lingkaran 1
$r_{2}$= jari-jari lingkaran 2

Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (19)

Diketahui M adalah pusat lingkaran yang mana memiliki panjang jari-jari lingkaran 8 cm dan N adlaah pusat lingkaran kedua yang memiliki panjang jari-jari lingkaran 3 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 13 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut?

Pembahasan Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (19)

Diketahui: $r_{1}=8$
       $r_{2}=3$
       $MN=d=13$
       $O$= titik tempat garis singggung di lingkaran pusat N

       $P$= titik tempat garis singggung di lingkaran pusat M

Ditanya: Panjang Garis singgung persekutuan luar $PO$?

Jawab:
Dari gambar diatas didapat bahwa $PO=NQ$, sehingga dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dengan memanfaatkan teorema pythagoras.
$\Delta r=r_{1}-r_{2}$
$\rightarrow \Delta r= 8-3$
$\rightarrow \Delta r=5$

$MN^{2}=NQ^{2}+\Delta r^{2}$
$NQ^{2}=MN^{2}-\Delta r^{2}$
$\rightarrow NQ^{2}=13^{2}-5^{2}$
$\rightarrow NQ^{2}=169-25$
$\rightarrow NQ^{2}=144$
$\rightarrow NQ=\sqrt{144}$
$\rightarrow NQ=12$

 

Cara penyelesaiannya versi lain:
$MN^{2}=d^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}$
$\rightarrow MN^{2}=13^{2}-(8-3)^{2}$
$\rightarrow MN^{2}=13^{2}-5^{2}$
$\rightarrow MN^{2}=169-25$
$\rightarrow MN^{2}=144$
$\rightarrow MN=\sqrt{144}$
$\rightarrow MN=12$

Jadi panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 12 cm
 

Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (20)

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat di titik A dan B yang mana masing-masing lingkaran memiliki jari-jari 34 cm dan 10 cm. Garis CD adalah garis singgung persekutuan luar yang memiliki panjang 32 cm. Tentukan panjang antara titik A dan titik B?

Pembahasan Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (20)

Diketahui: $r_{1}=34$
       $r_{2}=10$
       $CD=32$

       
Ditanya: Panjang $AB$ atau $d$?

Jawab:
Dari gambar diatas didapat bahwa $DB=CP$ dan $PB=CD$, sehingga dapat menentukan jarak panjang antara titik A dan titik B dengan memanfaatkan teorema pythagoras.
$AP=CA-DB$
$\rightarrow AP= 34-10$
$\rightarrow AP= 24$

$AB^{2}=PB^{2}+AP^{2}$
$\rightarrow AB^{2}=32^{2}+24^{2}$
$\rightarrow AB^{2}=1024+576$
$\rightarrow AB^{2}=1600$
$\rightarrow AB=\sqrt{1600}$
$\rightarrow AB=40$

Cara penyelesaiannya versi lain:
$CD^{2}=d^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}$
$\rightarrow d^{2}=32^{2}+(34-10)^{2}$
$\rightarrow d^{2}=32^{2}+24^{2}$
$\rightarrow d^{2}=1024+576$
$\rightarrow d^{2}=1600$
$\rightarrow d=\sqrt{1600}$
$\rightarrow d=40$

Jadi jarak panjang antara titik A dan titik B adalah 40 cm

Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (21)

Diketahui dua lingkaran dengan jari jari masing-masing 10 cm dan 5 cm. Jika Panjang garis singgung persekutuan dalam 8 cm. Tentukan jarak kedua titik pusat lingkaran?

Pembahasan Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran (21)

Diketahui:
Misalkan: titik singgungnya di A dan B
$r_{1}=10$
$r_{2}=5$
$AB=8$

Ditanya: Jarak kedua titik atau $d$?

Jawab:

$AB^{2}=d^{2}-(r_{1}+r_{2})^{2}$
$\rightarrow d^{2}=AB^{2}+(r_{1}+r_{2})^{2}$
$\rightarrow d^{2}=8^{2}+(10+5)^{2}$
$\rightarrow d^{2}=64+15^{2}$
$\rightarrow d^{2}=64+225$
$\rightarrow d^{2}=289$
$\rightarrow d=\sqrt{289}$
$\rightarrow d=17$

Cara Cepat Cerdas
Dengan memanfaatkan teorema pythagoras. Perhatikan gambar dibawah ini dengan mempepanjang titik A hingga ke titik C, dimana AC sama panjang dengan $r_{2}$, tarik garik dari titik $r_{2}$ ke C, sehingga bisa diproses dengan ilmu pythagoras sehingga didapat:
$x=r_{1}+r_{2}=15$ dan
$y=AB=8$, maka:

$z^2=x^2+y^2$
$\rightarrow z^2=15^{2}+8^{2}$
$\rightarrow z^2=225+64$
$\rightarrow z^2=289$
$\rightarrow z=\sqrt{289}$
$\rightarrow z=17$

Jadi jarak kedua titik lingkaran yang memiliki jari-jari masing-masing 10 cm dan 5 cm dengan panjang garis singgung 8 cm adalah 17 cm