Fungsi Invers Dan Komposisi: Ringkasan Materi Dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Fungsi Invers dan Komposisi disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Rangkuman Materi Fungsi Invers dan Komposisi Fungsi

Salam sobat omahinfo,
Setelah kemarin sobatku belajar tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, kali ini sobatku akan belajar mengenai Fungsi Invers Dan Komposisi Fungsi atau Fungsi Komposisi. Dalam artikel ini tentang Fungsi Invers Dan Komposisi Fungsi akan berisi tentang rangkuman materi baik itu tentang fungsi invers dan komposisi fungsi, serta soal biasa dan pengembangan yang dilengkapi dengan jawaban.

Jika Anda kebingungan memahami materi yang dijelaskan di sekolah maupun proses pembelajaran online atau daring, maka Anda mungkin bisa menemukan apa yang Anda cari tentang materi Fungsi Invers Dan Komposisi diartikel ini dengan banyak contoh soal serta jawaban. Mari kita mulai belajar tentang Fungsi Invers Dan Komposisi.

Fungsi Invers

Dalam kehidupan sehari-hari anda pasti mengenal istilah kebalikan atau lawan dari, misa ambil contoh siang kebalikannya malam, panjang kebalikannya pendek, pria kebalikannya wanita dan masih banyak lainnya. Ternyata dalam matematika juga mengenal istilah kebalikan yang merujuk pada fungsi Invers. Apa itu fungsi invers? mari kita baca penjelasannya

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers atau bisa dikatakan sebagai fungsi kebalikan adalah suatu fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi asalnya. misalnya fungsi $f\left ( x \right )$ inversnya adalah $f^{-1}\left ( x \right )$, jika $f\left ( x \right )$ adalah fungsi satu-satu atau fungsi pada (bijektif). Fungsi bijektif maksudnya memiliki jumlah anggota domaian dan kodomain sama.

Dalam menentukan fungsi invers ada 3 tahapan yang harus Anda lalui yaitu:

1. Ubahlah bentuk $y=f\left ( x \right )$ menjadi bentuk $x=f\left ( y \right )$.
2. Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}\left ( y \right )$, sehingga $f\left ( y \right )=f^{-1}\left ( y \right )$.
3. Ubahlah variabel y dengan x sehingga akan didapatkan rumus fungsi invers $f^{-1}\left ( x \right )$.

Ternyata fungsi invers sendiri terbagi menjadi beberapa, berikut ini fungsi invers yang harus Anda ketahui untuk semakin memperdalam dan memperlanjar ketika mengerjakan soal yang terkait dengan fungsi invers.

Fungsi Invers Linear 

Rumus Cepat: 

$y=px+q \rightarrow y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\frac{x-q}{p}$ 

dan berlaku sebaliknya.

 

Contoh Soal 1

Jika $y=f\left ( x \right )=2x+6$, maka invers dari $f\left ( x \right )$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $y=f\left ( x \right )=2x+6$

Ditanya: $y^{-1}$ atau $f^{-1}$?

Jawab:

Cara Biasa

$y=2x+6$

$2x=y-6$

$x=\frac{y-6}{2}$ 

$y^{-1}=\frac{x-6}{2}$

Cara Cepat

Gunakan rumus cepat fungsi linear $y=px+q \rightarrow y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\frac{x-q}{p}$,  sehingga jawaban akan mudah Anda dapatkan.

$y=f\left ( x \right )=2x+6$

maka didapat

$y^{-1}=f^{-1}=\frac{x-6}{2}$

Contoh Soal 2

Jika $y=f\left ( x \right )=5x-12$, maka invers dari $f\left ( x \right )$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $y=f\left ( x \right )=5x-12$

Ditanya: $y^{-1}$ atau $f^{-1}$?

Jawab:

Cara Biasa

$y=5x-12$

$5x=y+12$

$x=\frac{y+12}{5}$ 

$y^{-1}=\frac{x+12}{5}$

Cara Cepat

Gunakan rumus cepat fungsi linear $y=px+q \rightarrow y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\frac{x-q}{p}$ , sehingga jawaban akan mudah Anda dapatkan.

$y=f\left ( x \right )=5x-12$

maka didapat

$y^{-1}=f^{-1}=\frac{x+12}{5}$

Fungsi Invers Pecahan

Rumus Cepat: 

$f\left ( x \right )=\frac{px+q}{rx+s}\rightarrow f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-sx+q}{rx-p}$

Contoh Soal 3

Jika diketahui $f\left ( x \right )=\frac{5x+1}{x+5};x\neq -5$, dengan $x\in R$, maka fungsi invers dari $f\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui:  $f\left ( x \right )=\frac{5x+1}{x+5}$

                   $x\in R$                    

                   $x\neq -5$ 

Ditanya: $f^{-1}\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

misalkan  $y=f\left ( x \right )$

$y=f\left ( x \right )=\frac{5x+1}{x+5}$

$y=f\left ( x \right )=\frac{5x+1}{x+5}$

$y=\frac{5x+1}{x+5}$

$y\left ( x+5 \right )=\left ( 5x+1 \right )$ 

$xy+5y=5x+1$

$xy-5x=-5y+1$

$x\left ( y-5 \right )=\left ( -5y+1 \right )$

$x=\frac{-5y+1}{y-5}$

$y^{-1}=\frac{-5x+1}{x-5}$

$f^{-1\left ( x \right )}=\frac{-5x+1}{x-5}$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi pecahan $f\left ( x \right )=\frac{px+q}{rx+s}\rightarrow f^{-1}=\frac{-sx+q}{rx-p}$, Anda akan dengan cepat menemukan jawaban yang tepat dengan waktu singkat.

$f\left ( x \right )=\frac{5x+1}{x+5}$, maka  didapat $f^{-1\left ( x \right )}=y^{-1}=\frac{-5x+1}{x-5}$.

 

Contoh Soal 4

Diketahui $f\left ( x \right )=\frac{8x+15}{x+3};x\neq -3$ dan $f^{-1}\left ( x \right )$ adalah invers dari $f\left ( x \right )$. Berapa nilai dari $f^{-1}\left ( 9 \right )$?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( x \right )=\frac{8x+15}{x+3};x\neq -3$

                  $f^{-1}\left ( x \right )$ adalah invers dari $f\left ( x \right )$

Ditanya:  $f^{-1}\left ( 9 \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( x \right )=\frac{8x+15}{x+3}$

misalkan  $f\left ( x \right )=y$, maka

$y=\frac{8x+15}{x+3}$

$y\left ( x+3 \right )\left ( 8x+15 \right )$

$xy+3y=8x+15$

$xy-8x=-3y+15$

$x\left ( y-8 \right )=\left ( -3y+15 \right )$

$x=\frac{-3y+15}{y-8}$ 

sehingga didapat 

$y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-3y+15}{y-8}$ 

Dari $x=9$ kita subtitusikan, didapat

$f^{-1}\left ( 9 \right )=f^{-1}\left ( 9 \right )=\frac{-3.9+15}{9-8}$

$f^{-1}\left ( 9 \right )=\frac{-27+15}{ 9-8}$ 

$f^{-1}\left ( 9 \right )=\frac{-12}{1}$

$f^{-1}\left ( 9 \right )=-12$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi pecahan $f\left ( x \right )=\frac{px+q}{rx+s}\rightarrow f^{-1}=\frac{-sx+q}{rx-p}$, Anda akan dengan cepat menemukan jawaban yang tepat dengan waktu singkat.

$f\left ( x \right )=\frac{8x+15}{x+3}$, didapat 

$f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-3y+15}{y-8}$

Dari $x=9$ kita subtitusikan, didapat

$f^{-1}\left ( 9 \right )=\frac{-3.9+15}{9-8}=\frac{-12}{1}=-12$

 

Contoh Soal 5

Jika diketahui $f\left ( x \right )=\frac{3x-4}{2x-5};x\neq \frac{5}{2}$ dan $f^{-1}$ adalah invers dari f. Maka tentukan nilai $f^{-1}\left ( 3 \right )$?

Pembahasan

Diketahui:  $f\left ( x \right )=\frac{3x-4}{2x-5};x\neq \frac{5}{2}$

                    $f^{-1}$ adalah invers dari f

Ditanya:  $f^{-1}\left ( 3 \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( x \right )=\frac{3x-4}{2x-5}$

misalkan  $f\left ( x \right )=y$, maka

$y=\frac{3x-4}{2x-5}$

$y\left ( 2x-5 \right )=\left ( 3x-4 \right )$ 

$2xy-5y=3x-4$

$2xy-3x=5y-4$

$x\left ( 2y-3 \right )=\left ( 5y-4 \right )$

$x=\frac{5y-4}{2y-3}$

Sehingga didapat 

$y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\frac{5x-4}{2x-3}$

Dari $x= 3$ kita subtitusikan, maka didapat

$f^{-1}\left ( 3 \right )=\frac{5.3-4}{2.3-3}$

$f^{-1}\left ( 3 \right )=\frac{15-4}{6-3}$

$f^{-1}\left ( 3 \right )=\frac{11}{3}$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi pecahan $f\left ( x \right )=\frac{px+q}{rx+s}\rightarrow f^{-1}=\frac{-sx+q}{rx-p}$, Anda akan dengan cepat menemukan jawaban yang tepat dengan waktu singkat.

$f\left ( x \right )=\frac{3x-4}{2x-5}$, didapat

$f^{-1}\left ( x \right )=\frac{5x-4}{2x-3}$

Dan dari $x=3$, maka didapat

$f^{-1}\left ( 3 \right )=\frac{5.3-4}{2.3-3}=\frac{15-4}{6-3}=\frac{11}{3}$  

Baca Juga: Materi Fungsi Kuadrat

 

Fungsi Invers Kuadrat

Rumus Cepat: 

$f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c \rightarrow\\$ $f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{\frac{1}{a}\left ( x+\frac{D}{4a} \right )}-\frac{b}{2a}$

Contoh Soal 6

Jika diketahui $f\left ( x \right )=x^{2}-6x+4$, maka tentukan nilai $f^{-1}\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( x \right )=x^{2}-6x+4$

                  $a=1;b=-6;c=4$

Ditanya:  $f^{-1}\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

 $f\left ( x \right )=x^{2}-6x+4$

misalkan  $f\left ( x \right )=y$, maka

$y=x^{2}-6x+4$

$y-4=x^{2}-6x$

Untuk menyelesaikan ini Anda harus ingat cara melengkapkan kuadrat sempurna, jika lupa klik "Melengkapkan Kuadrat Sempurna", sehingga didapat

$y-4+\left | \frac{1}{2}.6 \right |^{2}=x^{2}-6x+\left | \frac{1}{2}.6 \right |^{2}$

$y-4+9=x^{2}-6x+9$ 

$y+5=\left ( x-3 \right )^{2}$

$x-3=\sqrt{y+5}$

$x=\sqrt{y+5}+3$

Sehingga didapat

$y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{x+5}+3$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi kuadrat $f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c \rightarrow\\$ $f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{\frac{1}{a}\left ( x+\frac{D}{4a} \right )}-\frac{b}{2a}$, Anda akan dengan cepat menemukan jawaban yang tepat dengan waktu singkat.

 $D=b^{2}-4ac$

$D=\left ( -6 \right )^{2}-4.1.4$

$D=36-16=20$

$f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{\frac{1}{1}\left ( x+\frac{20}{4.1} \right )}-\frac{-6}{2.1}$

$f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{1\left ( x+5 \right )}-\left ( -3 \right )$

$f^{-1}\left ( x \right )=\sqrt{x+5}+3$

Fungsi Invers Eksponen

Rumus Cepat: 

$f\left ( x \right )=a^{px} \rightarrow f^{-1}=^{a}\log x^{\frac{1}{p}}$

Contoh Soal 7

Jika $f\left ( x \right )\rightarrow 7^{4x}$, maka tentukan $f^{-1}\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui : $f\left ( x \right )\rightarrow 7^{4x}$

Ditanya:  $f^{-1}\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( x \right )\rightarrow 7^{4x}$

misalkan  $f\left ( x \right )=y$, maka

$y=7^{4x}$

Dengan menggunakan rumus logaritma $a^{n}=b\Rightarrow ^{a}\log b=n$, maka didapat

$4x=^{7}\log y$

$x=^{7}\log y$

$x=\left ( \frac{1}{4} \right )^{7}\log y$

$x=^{7}\log y^{\frac{1}{4}}$

$x=^{7}\log \sqrt[4]{y}$

$y^{-1}=f^{-1}\left ( x \right )=^{7}\log \sqrt[4]{x}$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi eksponen $f\left ( x \right )=a^{px} \rightarrow f^{-1}=^{a}\log x^{\frac{1}{p}}$, Anda akan dengan cepat menemukan jawaban yang tepat dengan waktu singkat. 

$f\left ( x \right )\rightarrow 7^{4x}$ $ \rightarrow$  $f^{-1}=^{7}\log x^{\frac{1}{4}}$ atau $f^{-1}\left ( x \right )=^{7}\log \sqrt[4]{x}$

Fungsi Komposisi

Setelah diatas Anda belajar tentang fungsi invers baik itu tentang pengertian, hingga rumus-rumus baik itu fungsi linear, fungsi pecahan, fungsi kuadrat dan fungsi ekponen yang sudah saya sertakan contoh soal beserta jawaban. Sekarang gantian Anda akan belajar fungsi komposisi. Untuk lebih lengkapnya dan pahami penjelasan singkat mengenai fungsi komposisi dan berbagai contoh soalnya.

Pengertian Fungsi Komposisi

Komposisi Fungsi adalah sebuah penggabungan dari dua jenis fungsi yaitu $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Tidak hanya fungsi invers yang memiliki rumus yag harus Anda pelajari dan pahami, fungsi komposisi juga memiliki beberapa rumus komposisi fungsi yang tentunya harus Anda pelajari dan pahami. Untuk lebih jelasnya simak penjelasan dibawah ini.

Rumus Fungsi Komposisi

Operasi pada sebuah komposisi fungsi dilambahkan dengan huruf "o" atau bisa juga dibaca dengan komposisi tau bundaran, sehingga terbentulah sebuah fungsi baru dari $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$, yaitu:

1. $\left ( fog \right )\left ( x \right )$ artinya $f\left ( x \right )$ bundaran atau komposisi $g\left ( x \right )$. Sedangkan dalam pengoperasian $g\left ( x \right )$ dimasukan ke $f\left ( x \right )$.
2. $\left ( gof \right )\left ( x \right )$ artinya $g\left ( x \right )$ bundaran atau komposisi $f\left ( x \right )$. Sedangkan dalam pengoperasian $f\left ( x \right )$ dimasukan ke $g\left ( x \right )$.

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Ada 3 sifat dari komposisi fungsi yang perlu Anda pahami, sehingga dalam penerapan soal Anda tidak keliru dalam menjawabnya, diantara lain:

1. $\left ( fog \right )\left ( x \right )\neq \left ( gof \right )\left ( x \right )$, maka komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.
2. $\left ( fo\left ( goh \right ) \right )\left ( x \right )\neq \left ( fog \right )oh\left ( x \right )$, maka komposisi fungsi bersifat asosiatif.
3. Jika fungsi identitas $l\left ( x \right )$, maka akan berlaku $\left ( fol \right )\left ( x \right )=\left ( lof \right )\left ( x \right )=f\left ( x \right )$.

Rumus Cepat: 

$f\left ( mx+n \right )=ax^{2}+bx+c \rightarrow\\$ $f\left ( x \right )=a\left ( \frac{x-n}{m} \right )^{2}+b\left ( \frac{x-n}{m} \right )+c$

Penjelasan rumus diatas: dari $f\left ( mx+n \right )=ax^{2}+bx+c$, Anda harus meng-inverskan $f\left ( mx+n \right )$. Kemudian setelah didapatkan hasil invers $\frac{x-m}{n}$ subtitusikan ke $ax^{2}+bx+c$ maka didapatlah rumus diatas.

Contoh Soal 8

Jika diketahui $f\left ( 3x+5 \right )=x^{2}-6x+10$, maka tentukan nilai $f\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( 3x+5 \right )=x^{2}-6x+10$

Ditanya:  $f\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( 3x+5 \right )=x^{2}-6x+10$

misalkan $\left ( 3x+5 \right )=y$, maka didapat

$y=\left ( 3x+5 \right )$

$3x=y-5$

$x=\frac{y-5}{3}$

sehingga didapat

$y^{-1}=\frac{x-5}{3}$

Dari $y^{-1}=\frac{x-5}{3}$, kita subtitusikan ke $x^{2}-6x+10$, maka didapat

$f\left ( y^{-1} \right )=\left ( \frac{x-5}{3} \right )^{2}-6\left ( \frac{x-5}{3} \right )+10$

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}\left ( x^{2}-10x+25 \right )-\left ( 2x-10 \right )+10$ 

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}x^{2}-\frac{1}{9}10x+\frac{25}{9}-2x+10+10$

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}x^{2}-\frac{1}{9}10x+\frac{25}{9}-\frac{1}{9}18x+\frac{1}{9}180$

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}x^{2}-\frac{1}{9}28x+\frac{205}{9}$ atau

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}\left (x^{2}-28x+205  \right )$

Cara Cepat

Dengan menggunakan rumus cepat fungsi komposisi 

$f\left ( mx+n \right )=ax^{2}+bx+c \rightarrow\\$ $f\left ( x \right )=a\left ( \frac{x-n}{m} \right )^{2}+b\left ( \frac{x-n}{m} \right )+c$,  maka didapat

$f\left ( 3x+5 \right )$, Inversnya $=\frac{x-5}{3}$ (Ingat rumus cepat fungsi linear)

Kemudian subtitusikan ke $x^{2}-6x+10$, didapat

$f\left ( y^{-1} \right )=\left ( \frac{x-5}{3} \right )^{2}-6\left ( \frac{x-5}{3} \right )+10$

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}\left ( x^{2}-10x+25 \right )-\left ( 2x-10 \right )+10$ 

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}x^{2}-\frac{1}{9}10x+\frac{25}{9}-\frac{1}{9}18x+\frac{1}{9}180$

$f\left ( y^{-1} \right )=\frac{1}{9}\left (x^{2}-28x+205  \right )$

 

Rumus Cepat Fungsi Komposisi Lainnya:

Ada yang unik dari rumus komposisi fungsi $\left ( f o f^{-1} \right )\left ( x \right )=x $, dan $\left (g o g^{-1} \right )\left ( x \right )=x $. 

Pembuktian

Jika diketahui $f\left ( x \right )=x+1$,tunjukan  $\left ( f o f^{-1} \right )\left ( x \right )=x $.

Pembahasan

$f\left ( x \right )=x+1$ inversnya $f^{-1}\left ( x \right )=x-1$

$\left ( f o f^{-1} \right )\left ( x \right )=x $

$f\left ( f^{-1} \left ( x \right )\right )=x$ 

$f\left ( x-1\right )=x$

$ f^{-1}\left ( x \right )$kita subtitusikan ke $f\left ( x \right )$, sehingga didapat

$\left ( x-1 \right )+1=x$ 

$x=x$, (terbukti ruang kiri sama dengan ruas kanan). Untuk pembuktian $\left (g o g^{-1} \right )\left ( x \right )=x $, prinsipnya hampir sama mungkin Anda bisa mencoba sendiri dirumah untuk membuktikannya.

Selain itu juga ada beberapa rumus fungsi komposisi lainnya yang harus Anda ketahui, inilah beberapa formula atau rumus komposisi fungsi laiinya:

• Jika $f\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka 

$g\left ( x \right )=f^{-1} o \left ( f o g \right )\left ( x \right )$.

•  Jika $f\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( g o f \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka 

$g\left ( x \right )= \left ( g o f \right ) o f^{-1}\left ( x \right )$.

•  Jika $g\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka 

$f\left ( x \right )=\left ( f o g \right ) o g^{-1}\left ( x \right )$

• Jika $g\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( g o f \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka 

$f\left ( x \right )=g^{-1} o \left ( g o f \right )\left ( x \right )$

 

Contoh Soal 9

Jika diketahui $f\left ( x \right )=x+1$ dan $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) =5x^{2}+4$. Tentukan rumus $g\left ( x \right )$ yang sesuai?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( x \right )=x+1$

                 $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) =5x^{2}+4$

Ditanya:  $g\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( x \right )=x+1$

$\left ( f o g \right )\left ( x \right ) =5x^{2}+4$

$f\left ( g\left ( x \right ) \right )=5x^{2}+4$ 

$g\left ( x \right )+1=5x^{2}+4$

$g\left ( x \right )=5x^{2}+4-1$

$g\left ( x \right )=5x^{2}+3$

Cara Cepat

Ingat rumus cepat nomor 1 " Jika $f\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka $g\left ( x \right )=f^{-1} o \left ( f o g \right )\left ( x \right )$", maka Anda akan cepat menjawabnya

$f\left ( x \right )=x+1$, maka inversnya $f^{-1}\left ( x \right )=x-1$

$g\left ( x \right )=f^{-1} o \left ( f o g \right )\left ( x \right )$

$g\left ( x \right )=f^{-1} o \left ( f o g \right )\left ( x \right )$

$g\left ( x \right )=f^{-1}\left ( 5x^{2}+4 \right )$ 

$g\left ( x \right )=(5x^{2}+4)-1$

$g\left ( x \right )=5x^{2}+3$

 

Contoh Soal 10

Diketahui $g\left ( x \right )=2x-4$ dan  $\left ( f o g \right )\left ( x \right )= x^{2}-2x+8$, maka tentukan nilai $f\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui:  $g\left ( x \right )=2x-4$

                   $\left ( f o g \right )\left ( x \right )= x^{2}-2x+8$

Ditanya:  $f\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

Jika menggunakan cara biasa sudah saya coba belum ketemu, maka kita Akan menggunakan cara cepat saja. (aakn saya update jika saya sudah menemukan metodenya)

Cara Cepat

Ingat rumus no. 3  'Jika $g\left ( x \right )=diketahui$ dan $\left ( f o g \right )\left ( x \right ) = diketahui$, maka $f\left ( x \right )=\left ( f o g \right ) o g^{-1}\left ( x \right )$", maka Anda akan cepat menjawabnya.

$g\left ( x \right )=2x-4$

misalkan  $g\left ( x \right )=y$, maka

$y=2x+4$

$2x=y-4$

$x=\frac{y-4}{2}$

$y^{-1}=g^{-1}\left ( x \right )=\frac{x-4}{2}$

$\left ( f o g \right )\left ( x \right )= x^{2}-2x+8$ 

$f\left ( x \right )=\left ( f o g \right )\left ( x \right ) o g^{-1}\left ( x \right )$

$f\left ( x \right )= \left ( f o g \right )\left ( g^{-1} \right )$

$f\left ( x \right )= \left ( \frac{x-4}{2} \right )^{2}-2\left ( \frac{x-4}{2} \right )+8$

$f\left ( x \right )=\frac{1}{4}\left ( x^{2}-8x+16 \right )-\left ( x-4 \right )+8$

$f\left ( x \right )=\frac{1}{4}x^{2}-2x+4-x+4+8$ 

$f\left ( x \right )=\frac{1}{4}x^{2}-3x+12$

 

Contoh Soal 11

Jika diketahui $f\left ( x \right )=\frac{x}{x-3}$ dan $g\left ( g \right )=2x+3$ , maka tentukan nilai $\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )$?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( x \right )=\frac{x}{x-3}$

                  $g\left ( g \right )=2x+3$

Ditanya:  $\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )$?

Jawab:

Cara Biasa

$\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$

$\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left (2x+3 \right )$ 

$\left ( fog \right )\left ( x \right )=\frac{2x+3}{\left (2x+3  \right )-3}$ 

$\left ( fog \right )\left ( x \right )=\frac{2x+3}{2x}$

Misalkan  $\left ( fog \right )\left ( x \right )=y$, maka

$y=\frac{2x+3}{2x}$

$2xy=2x+3$

$2xy-2x=3$

$x\left ( 2y-2 \right )=3$

$x=\frac{3}{2y-2}$

$y^{-1}=\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{3}{2x-2}$

Cara Cepat

Setelah Anda mendapatkan $\left ( fog \right )\left ( x \right )=y=\frac{2x+3}{2x}$

Ingatlah rumus cepat fungsi pecahan $f\left ( x \right )=\frac{px+q}{rx+s}\rightarrow f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-sx+q}{rx-p}$, maka Anda akan menemukan dengan cepat jawabannya.

$y=\frac{2x+3}{2x}$ maka $y^{-1}=\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\frac{0x+3}{2x-2}=\frac{3}{2x-2}$

 

Baca Juga: Rangkuman Materi Pertidaksamaan

Untuk contoh soal lainnya akan saya berikan nantinya memalui channel youtube omahinfo (coming soon)

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman mataeri fungsi invers dan fungsi komposisi yang juga saya sertakan beberapa contoh soal dan jawaban atau pembahasannya dengan berbeagai soal biasa serta pengembangan. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi k-3 dari pelajaran matematika SMA tentang fungsi invers dan komposisi ini bermanfaat dan terima kasih.