Pertidaksamaan: Rangkuman Materi Dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman materi pertidaksamaan disertai contoh soal dan pembahasan lengkap

Rangkuman materi pertidaksamaan, source: omahinfo.com

Salam sobat omahinfo,
Setelah kemarin Anda belajar 3 materi matematika SMA terkait persamaan kuadrat, fungsi kuadrat serta fungsi invers dan komposisi. Kali ini Anda akan mempelajari rangkuman materi pertidaksamaan meliputi pengertian, sifat dan jenis-jenis pertidaksamaan. Selain itu, Anda akan menemukan beberapa soal dan pembahasan yang tepat dan disertai penjelasan agar Anda tidak kebingungan ketika memahami cara mengerjakan soal-soal ini.

Tak perlu panjang lebar lagi menjelasakan isi artikel ini secara ringkas, mari kita pelajari dan pahami bersama tentang rangkuman materi pertidaksamaan yang disertai soal dan pembahasan atau jawaban

Pengertian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan antara dua hal bersifat sama (=) atau tidak sama ( artinya tidak sama itu bisa: "$<$": kurang dari; "$>$": lebih dari; "$\leq $": kurang dari atau sama dengan; dan "$\geq$": lebih dari atau sama dengan ).

garis bilangan pertidaksamaan, source: omahinfo.com

Keterangan gambar garis bilangan pertidaksamaan diatas

1. Jika sebuah pertidaksamaan $x<a$, maka itu berarti niai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah lebih kecil dari a seperti digambarkan pada gambar 1.
2. Jika sebuah pertidaksamaan $x\geq a$, maka itu berarti niai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah lebih besar atau sama dengan a seperti digambarkan pada gambar 2.

Catatan dalam gambar garis bilangan:

1. Bulat Penuh artinya nilai "a" itu termasuk juga dalam himpunan penyelesaian. misalnya $x\geqslant 3=\left ( 3,4,5,6.... \right )$.
2. Bulat Terbuka artinya nilai "a" itu tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian. misalnya $x> 3=\left ( 4,5,6,7,... \right )$.
   

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Bebibicara tentang sifat-sifat pertidaksamaan, sebenarnya ada empat hal yang harus Anda perhatikan secara seksama yaitu:

1. Tanda pertidaksamaan tetap atau tidak berubah meskipun Anda menambah atau mengurangi sebuah pertidaksamaan dengan bilangan atau sebuah ekspresi matematika tertentu. Hal itu berlaku seperti ini:

Jika $p> q$, maka berlaku $p+r> q+r$ atau $p-r> q-r$. Selain itu, jika $p< q$, maka berlaku $p+r< q+r$ atau $p-r< q-r$.

Pembuktian
Jika $p=2$; $q=1$; $r=3$, maka
$2+3> 1+3$
$5> 4$

2. Tanda pertidaksamaan tetap atau tidak akan berubah, meskipun Anda kali atau bagi dengan bilangan positif.

Jika $p> q$ dan $r>0$, maka berlaku $pr> qr$ atau $\frac{p}{r}> \frac{q}{r}$.

Pembuktian
Pembuktian
Jika $p=8$; $q=4$; $r=2$, maka
$pr> qr$
$8.2> 4.2$
$16> 8$

atau

$\frac{p}{r}> \frac{q}{r}$
$\frac{8}{2}> \frac{4}{2}$
$4> 2$

3. Tanda pertidaksamaan akan berbalik atau berubah, jika dikali atau dibagi dengan bilangan Negatif.

Jika $p> q$ dan $r<0$, maka berlaku $pr< qr$ atau $\frac{p}{r}< \frac{q}{r}$.

Pembuktian
Jika $p=9$; $q=6$; $r=-3$, maka
$pr< qr$
$9.(-3)< 6.(-3)$
$(-27)< (-18)$
atau
$\frac{p}{r}< \frac{q}{r}$
$\frac{9}{-3}< \frac{6}{-3}$
$(-3)< (-2)$

4. Eksponen (Pemangkatan) Pertidaksamaan
Percaya atau tidak, terdapat sesuatu yang unik dari eksponen atau pemangkatan pertidaksamaan karena tanda pertidaksamaan akan terganting dari nilai pangkat yang ganjil atau genap.

Jika $a> b> 0$, maka
$a^{2}> b^{2}> 0$
$a^{3}> b^{3}> 0$
$a^{4}> b^{4}> 0$
dan berlaku seterusnya, dengan $a^{n}> b^{n};a\in A \left ( 1,2,3,4,... \right )$

Pembuktian
$a=2; b=1; a> b> 0$
$2^{2}> 1^{2}> 0$
$2> 1> 0$

Jika $a< b< 0$, maka
$a^{2}> b^{2}> 0$
$a^{3}< b^{3}< 0$
$a^{4}> b^{4}> 0$
$a^{5}< b^{5}< 0$
dan berlaku seterusnya. Dimana akan bernilai $a^{n}> b^{n}$, jika n itu genap, dan akan bernilai $a^{n}< b^{n}$, jika n itu ganjil.

Pembuktian
$a=-3; b=-2; a< b< 0$
$(-3)^{2}> (-2)^{2}> 0$
$9> 4> 0$
atau
$(-3)^{3}< (-2)^{3}< 0$
$(-27)< (-8)< 0$

Secara tidak langsung bisa dirangkum beberapa sifat dari pertidaksamaan:

• Jika $a,b\in R\left ( real \right )$, maka berlaku $a>b$ atau $a=b$ atau $a<b$.
• Jika $a>b$ dan $b>c$, maka berlaku $a>c$.
• Jika $a>b$ dan $c>0$, maka berlaku $ac>bc$ atau $\frac{a}{c}> \frac{b}{c}$.
• Jika $a>b$ dan $c<0$, maka berlaku $ac<bc$ atau $\frac{a}{c}< \frac{b}{c}$.
• Jika "m" genap dan $a>b$ maka berlaku:

1. $a^{m}> b^{m}$, untuk $a>b$ dan $b>0$.
2. $a^{m}< b^{m}$, untuk $a<b$ dan $<>0$.

• Jika "n" ganjil serta $a>b$, maka $a^{n}> b^{n}$.
• Jika $a> b$, maka:

1. $\frac{1}{a}> \frac{1}{b}$, untuk a,b bertanda sama.
2. $\frac{1}{a}< \frac{1}{b}$ untuk a,b berbeda tanda.

 

Menentukan  Tanda Positif atau Negatif Pada Garis Bilangan

• Tentukan tanda di ruang paling kanan dengan melihat koefisien variabel pangkat tinggi

1. Bertanda (+), Jika koefisien pangkat tertinggi (+)
2. Bertanda (-), Jika koefisien pangkat tertinggi (-) 

• Tanda akan berubah atau tetap tergantung pa da pangkat suku pembuat nolnya.

•  Jika pangkatnya genap, maka akan berlaku
  

1. (+) kirinya (+)
2. (-) kirinya (-)

•  Jika pangkatnya ganjil, maka akan berlaku

1. (+) kirinya (-)
2. (-) kirinya (+)

 Jenis-Jenis Pertidaksamaan

Ternyata pertidaksamaan dibedakan menjadi beberapa jenis, berikut ini penjelasannya:

1. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah sebuah pertidaksamaan yang mengandung bentuk linear dengan pangkat tertinggi berpangkat satu. 

Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear

$ax+b< 0$

Tanda dapat berubah berupa $<;>;\leq;\geqslant$

Contoh Soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $x+4<7$

Pembahasan

Diketahui:  $x+4<7$

Ditanya: Nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$x+4<7$

Anda bisa mulai dengan mengganti nilai x

$x = 4$, jadi $4 + 4< 7$, bernilai salah

$x = 3$, jadi $3 + 4< 7$, bernilai salah

$x = 2$, jadi $2 + 4< 7$, bernilai benar

$x = 1$, jadi $1 + 4< 7$, bernilai benar

$x = 0$, jadi $0 + 4< 7$, bernilai benar

$x = -1$, jadi $-1 + 4< 7$, bernilai benar

dan seterusnya

Jadi bisa dikatakan nilai x yang memenuhi atau himpunan penyelesaiannya adalah $x=\left ( 2,1,0,-1,-2,... \right )$

Cara Cepat

$x+4<7$

$x<7-4$

$x<3$

Jadi nilai x yang memenuhi atau himpunan penyelesaiannya adalah  $x<3$ atau $x=\left ( 2,1,0,-1,-2,... \right )$.

2. Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat adalah sebuah pertidaksamaan yang mengandung bentuk linear dengan pangkat tertinggi berpangkat dua.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

$ax^{2}+bx+c< 0$

Tanda dapat berubah berupa $<;>;\leq;\geqslant$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai x dari pertidaksamaan kuadrat berikut $x> \sqrt{x+6};x\in R$?

Pembahasan

Diketahui: $x> \sqrt{x+6};x\in R$

Ditanya: nilai x?

Jawab

$x> \sqrt{x+6}$

Dikuadratkan kedua ruas sisi,

$x^{2}> \left (\sqrt{x+6}  \right )^{2}$ 

$x^{2}> x+6$

$x^{2}-x-6> 0$

maka didapat akar-akarnya

$\left ( x-3 \right )\left ( x+2\right )> 0$

Sehingga didapat 

$ x-3=0 \rightarrow  x=3; x+2=0 \rightarrow x=-2$

garis bilangan $x> \sqrt{x+6};x\in R$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas adalah $x< -2$ dan $x> 3$.

3. Pertidaksamaan Pangkat Tinggi (Polinomial)

Polinomial sendiri dikenal dengan sebutan suku banyak. Polinomial adat suku banyak sendiri adalah sebuah bentuk suku-suku yang begitu banyak dan terhingga dimana tersusun dari peubah(variabel) dan konstanta. Polinomial atau suku banyak hanya menggunakan operasi penjumlaha, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tapi tidak negatif.

Bentuk umum dari Polinomial atau suku banyak:

 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}$

Keterangan:

Dengan $a_{n};a_{n-1};a_{n-2};...;a_{1}\in R$ adalah koefisien, dan $a_{0}\in R$ adalah konstanta.

Pertidaksamaan pangkat tinggi atau polinomial yang akan dibahas disini yaitu ditekankan pada pertidaksamaan polinomial yang bisa difaktorkan.

 

Contoh Soal 3

Tentukan nilai x dari pertidaksamaan kuadrat berikut $x^{3}-x^{2}-6x< 0$?

Pembahasan

Diketahui: $x^{3}-x^{2}-6x< 0$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

$x^{3}-x^{2}-6x< 0$

$x\left (x^{2}-x-6 \right )< 0$

$x\left (x-3 \right )\left ( x+2 \right )< 0$ 

Sehingga didapat 

$x=0; x-3=0 \rightarrow  x=3; x+2=0 \rightarrow x=-2$

garis bilangan $x^{3}-x^{2}-6x< 0$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x< -2$ dan $0<x<3$.

 

3. Pertidaksamaan Pecahan 

Pertidaksamaan pecahan adalah sebuah pertidaksamaan yang mengandung unsur pecahan dimana ada pembelilan dan penyebut.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Pecahan

$\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}\leq 0$

Tanda dapat berubah berupa $<;>;\leq;\geqslant$ 

 

Contoh Soal 4

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan pecahan berikut ini $\frac{x+3}{x^{2}-4}> 0$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $\frac{x+3}{x^{2}-4}> 0$

Ditanya: nilai x yang memehuni?

Jawab:

$\frac{x+3}{x^{2}-4}> 0$

Faktorkan yang menadi penyebut, maka diadapat

$\frac{x+3}{\left ( x+2 \right )\left ( x-2 \right )}> 0$

Sehingga didapat 

$x+3=0 \rightarrow  x=-3; x+2=0 \rightarrow  x=-2; x-2=0 \rightarrow x=2$

garis bilangan $\frac{x+3}{x^{2}-4}> 0$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x> 2$ dan $-3<x<-2$.

 

4. Pertidaksamaan Harga Mutlak 

Pertidaksamaan harga mutlak adalah sebuah pertidaksamaan yang memuat nilai atau harga mutlak yang berarti nilai positif dari bilangan tersebut dan disimbolkan dengan tanda kurung pagar "\left |  \right |".

Bentuk Umum Pertidaksamaan Harga Mutlak

$\left | x \right |> 0$ 

Tanda dapat berubah berupa $<;>;\leq;\geqslant$ 

Ingatlah sifat-sifat harga mutlak dibawah ini.

• Jika $\left | x \right |< a$, maka $-a< x< a$
• Jika $\left | x \right |> a$, maka $x< -a$ atau $x> a$

Rumus Cepat Pertidaksamaan Harga Mutlak

• Jika $\left | x+p \right |\leq \left | x+q \right |$, maka

$\left [ \left ( x+p \right ) +\left ( x+q \right )\right ]\left [\left ( x+p \right ) -\left ( x+q \right )  \right ]\leq 0$ 

• Jika $\left | x+p \right |\geq \left | x+q \right |$, maka

$\left [ \left ( x+p \right ) +\left ( x+q \right )\right ]\left [\left ( x+p \right ) -\left ( x+q \right )  \right ]\geq  0$

Baca Juga: Rangkuman Materi Fungsi Invers dan Komposisi

5. Pertidaksamaan Bentuk Akar

Pertidaksamaan mutlak adalah sebuah pertidaksamaan yang melibatkan bentuk akar atau fungsi dalam akar. 

Bentuk Umum Pertidaksamaan Bentuk Akar

$\sqrt{f\left ( x \right )}\geq c$

Tanda dapat berubah berupa $<;>;\leq;\geqslant$ 

Cara Penyelesaiannya:

1. $\sqrt{f\left ( x \right )}\geq 0$
2. Kuadratkan kedua ruas kemudian cari penyelesaiannya, himpunan penyelesaiaan  atau HP adalah irisan dari (1) dan (2)

Contoh Soal 5

Nilai-nilai x yang memenuhi $\left | x+3 \right |\leq \left | 2x \right |$ adalah 

Pembahasan

Diketahui: $\left | x+3 \right |\leq \left | 2x \right |$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$\left | x+3 \right |\leq \left | 2x \right |$ 

Kuadratkan di kedua ruas

$\left ( \left | x+3 \right | \right )^{2}\leq \left | 2x \right |^{2}$ 

$x^{2}+6x+9\leq 4x^{2}$

$0\leq 4x^{2}-x^{2}-6x-9$\

$0\leq 3x^{2}-6x-9$ 

$0\leq 3x^{2}-6x-9$ 

$0\leq \left ( 3x+3 \right )\left ( x-3 \right )$

Sehingga didapat 

$3x+3=0 \rightarrow  x=-1; x-3=0 \rightarrow  x=3$

garis bilangan $\left | x+3 \right |\leq \left | 2x \right |$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x\leq -1$ dan $x\geq 3$.  

Cara Cepat

Ingat Rumus Cepat Pertidaksamaan Harga Mutlak "Jika $\left | x+p \right |\leq \left | x+q \right |$, maka $\left [ \left ( x+p \right ) +\left ( x+q \right )\right ]\left [\left ( x+p \right ) -\left ( x+q \right )  \right ]\leq 0$", sehingga Anda dapat menemukan jawaban dengan tepat.

Misal

$\left | x+3 \right |=\left | a \right |;  \left | 2x \right |=\left | b \right |$, maka

$\left | a \right |\leq \left | b \right |\rightarrow \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )\leq 0$ 

$\left ( x+3+2x \right )\left ( x+3-2x \right )\leq 0$

$\left ( 3x+3 \right )\left ( -x+3 \right )\leq 0$

Sehingga didapat 

$3x+3=0 \rightarrow  x=-1; x-3=0 \rightarrow  x=3$

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x\leq -1$ dan $x\geq 3$.  

 

Contoh Soal 6

Jika diketahui $\left | 2x-3 \right |< 5$, maka tentutkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Pembahasan

Diketahui: $\left | 2x-3 \right |< 5$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$\left | 2x-3 \right |< 5$

Kuadratkan di kedua ruas

$\left | 2x-3 \right |^{2}< 5^{2}$ 

$4x^{2}-12x+9< 25$

$4x^{2}-12x+9-25< 0$

 $4x^{2}-12x-16< 0$

Sederhanakan pertidaksamaan karena semua bisa dibagi dengan "4", maka didapat

$x^{2}-3x-4< 0$

$\left ( x-4 \right )\left ( x+1 \right )< 0$

Sehingga didapat 

$x-4=0 \rightarrow  x=4; x+1=0 \rightarrow  x=-1$ 

garis bilangan $\left | 2x-3 \right |< 5$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $-1< x< 4$ 

Cara Cepat

Ingat sifat pertidaksamaan harga mutlak yang pertama, jika $\left | x \right |< a$, maka $-a< x< a$

$\left | 2x-3 \right |< 5$, maka

$-5<2x-3<5$ 

$-5+3<2x<5+3$

$-2<2x<8$

$-1<x<8$

 

Contoh Soal 7

Jika diketahui $\left | 3x-5 \right |> 1$, maka tentutkan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Penyesaian

Diketahui:  $\left | 3x-5 \right |> 1$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$\left | 3x-5 \right |> 1$

Kuadratkan di kedua ruas sisi

$\left | 3x-5 \right |^{2}> 1^{2}$ 

$9x^{2}-30x+25> 1$

$9x^{2}-30x+25-1> 0$

$9x^{2}-30x+24> 0$

Sederhanakan pertidaksamaan ini dengan dibagi dengan angka 3, maka didapat

$3x^{2}-10x+8> 0$

$\left ( 3x-4 \right )\left ( x-2 \right )> 0$

Sehingga didapat 

$3x-4=0 \rightarrow  x=\frac{4}{3}; x-2=0 \rightarrow  x=2$ 

garis bilangan $\left | 3x-5 \right |> 1$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x< \frac{4}{3}$ atau $x> 2$ 

Cara Cepat

Ingat  sifat pertidaksamaan harga mutlak kedua, jika $\left | x \right |> a$, maka $x< -a$ atau $x> a$

$\left | 3x-5 \right |> 1$

$3x-5> 1$

 $3x> 1+5$

 $3x> 6$

 $x> 2$

atau 

$3x-5< -1$

$3x< -1+5$

$3x< 4$

$x< \frac{4}{3}$

 

Contoh Soal 8

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dari $\left | \frac{x+1}{x-2} \right |< 1$?

Pembahasan

Diketahui: $\left | \frac{x+1}{x-2} \right |< 1$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$\left | \frac{x+1}{x-2} \right |< 1$ 

Dikuadratkan kedua ruas sisi

$\left | \frac{x+1}{x-2} \right |^{2}< 1^{2}$

$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-4x+4}< 1$

$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-4x+4}-1<0 $

$\frac{\left (x^{2}+2x+1  \right )-\left ( x^{2}-4x+4 \right )}{x^{2}-4x+4}< 0$

$\frac{x^{2}+2x+1-x^{2}+4x-4}{x^{2}-4x+4}< 0$ 

$\frac{6x-3}{\left (x-2 \right )^{2}}< 0$

Sehingga didapat 

$6x-3=0 \rightarrow  x=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}; x-2=0 \rightarrow  x=2$ 

garis bilangan $\left | \frac{x+1}{x-2} \right |< 1$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x< \frac{1}{2}$.

Cara Cepat

$\left | \frac{x+1}{x-2} \right |< 1$ 

$\left | x+1 \right |< 1\left | x-2 \right |$

Kuadratkan kedua ruas

$x^{2}+2x+1< 1\left ( x^{2}-4x+4 \right )$

$x^{2}+2x+1<  x^{2}-4x+4$

$x^{2}+2x- x^{2}+4x< 4-1$

$6x< 3$

$x< \frac{3}{6}$

$x< \frac{1}{2}$.

 

Contoh Soal 9 

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2\left | x-1 \right |> \left | x+1 \right |$?

Pembahasan

Diketahui: $2\left | x-1 \right |> \left | x+1 \right |$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$2\left | x-1 \right |> \left | x+1 \right |$

$\left | 2x-2 \right |> \left | x+1 \right |$

Kuadratkan kedua ruas sisi

$\left | 2x-2 \right |^{2}> \left | x+1 \right |^{2}$ 

$4x^{2}-8x+4> x^{2}+2x+1$

$4x^{2}-8x+4- x^{2}-2x-1> 0$

$3x^{2}-10x+3> 0$

$\left ( 3x-1 \right )\left ( x-3 \right )> 0$

Sehingga didapat 

$3x-1=0 \rightarrow  x=\frac{1}{3}; x-3=0 \rightarrow  x=3$ 

Gambar garis bilangan 9

garis bilangan $2\left | x-1 \right |> \left | x+1 \right |$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x< \frac{1}{3}$ atau $x> 3$.

Cara Cepat

Ingat Rumus Cepat Pertidaksamaan Harga Mutlak "Jika $\left | x+p \right |\geq \left | x+q \right |$, maka $\left [ \left ( x+p \right ) +\left ( x+q \right )\right ]\left [\left ( x+p \right ) -\left ( x+q \right )  \right ]\geq  0$", sehingga Anda dapat menemukan jawaban dengan tepat.

$2\left | x-1 \right |> \left | x+1 \right |$

$\left | 2x-2 \right |> \left | x+1 \right |$

$\left ( (2x-2)+(x+1) \right )\left ( (2x-2)-(x+1) \right )> 0$ 

$\left ( 2x-2+x+1\right )\left ( 2x-2-x-1 \right )> 0$

$\left ( 3x-1\right )\left ( x-3 \right )> 0$

Sehingga didapat 

$3x-1=0 \rightarrow  x=\frac{1}{3}; x-3=0 \rightarrow  x=3$ 

Contoh Soal 10

Jika diketahui sebuah pertidaksamaan $\frac{5x-2}{2x-3}\leq 2$, mka tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Pembahasan

Diketahui: $\frac{5x-2}{2x-3}\leq 2$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

Cara Biasa

$\frac{5x-2}{2x-3}\leq 2$

$\frac{5x-2}{2x-3}-2\leq 0$ 

$\frac{5x-2}{2x-3}-\frac{2\left ( 2x-3 \right )}{2x-3 }\leq 0$

$\frac{5x-2-4x+6}{2x-3}\leq 0$

$\frac{x+4}{2x-3}\leq 0$

Sehingga didapat 

$2x-3=0 \rightarrow  x=\frac{3}{2}; x+4=0 \rightarrow  x=-4$ 

Ambil bilangan x lebih besardari $ x=\frac{3}{2}$, misal $x = 2$, jadi $\frac{2+4}{2.2-3}\leq 0$, bernilai salah 

Ambil bilangan x lebih kecil dari $ x=\frac{3}{2}$, misal $x = 0$, jadi $\frac{0+4}{2.0-3}\leq 0$, bernilai benar

Ambil bilangan x lebih kecil dari $ x=-4$, misal $x = -5$, jadi $\frac{-5+4}{2.(-5)-3}\leq 0$, bernilai salah

garis bilangan $\frac{5x-2}{2x-3}\leq 2$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $-4\leq x\leq \frac{3}{2}$.

Cara Cepat Ketika Pilihan Ganda

$\frac{5x-2}{2x-3}\leq 2$

$2x-3\neq 0 \rightarrow x\neq \frac{3}{2}$

Carilah jawaban yang tidak mengandung  $x=\frac{3}{2}$.

Contoh Soal 11

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $\left | x-2 \right |^{2}+2\left | x-2 \right |< 15$ ?

Pembahasan

Diketahui: $\left | x-2 \right |^{2}+2\left | x-2 \right |< 15$ 

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

$\left | x-2 \right |^{2}+2\left | x-2 \right |< 15$ 

misal: $a=\left | x-2 \right |$, maka didapat

$a^{2}+2a< 15$

$a^{2}+2a-15< 0$

$\left ( a+5 \right )\left ( a-3 \right )< 0$

Sehingga didapat 

$a+5=0 \rightarrow  a=-5; a-3=0 \rightarrow  a=3$ 

maka diperoleh $-5<a<3$

Karena $a=\left | x-2 \right |$, maka didapat

$-5<\left | x-2 \right |<3$

$-5<\left | x-2 \right |$ Selain karena pertidak samaan harga mutlak berlaku $a>0$ dan sudah terbukti jelas bahwa $-5$ akan selalu lebih kecil dari harga mutlak untuk setiap $x\in R$.

Karena pertidaksamaan $\left | x-2 \right |<3$ mempunyai kemungkinan nilai x tidak semua benar, maka kita harus menentukan nilai x yang memenuhi.

$\left | x-2 \right |<3$

$-3<x-2<3$ 

$-3+2<x<3+2$ 

$-1<x<5$  

Contoh Soal 12

Tentukan nilai x yang memenuhi $\frac{3x^{2}+7x-14}{x^{2}+3x-4}\geq 2$ ?

Pembahasan

Diketahui: $\frac{3x^{2}+7x-14}{x^{2}+3x-4}\geq 2$

Ditanya: nilai x yang memenuhi?

Jawab:

$\frac{3x^{2}+7x-14}{x^{2}+3x-4}\geq 2$

$\frac{3x^{2}+7x-14}{x^{2}+3x-4}-2\geq 0$

$\frac{\left (3x^{2}+7x-14  \right )-2\left ( x^{2}+3x-4 \right )}{x^{2}+3x-4}\geq 0$ 

$\frac{3x^{2}+7x-14-2x^{2}-6x+8}{x^{2}+3x-4}\geq 0$

$\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+3x-4}\geq 0$

$\frac{\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )}{\left ( x+4 \right )\left ( x-1 \right )}\geq 0$

Sehingga didapat 

$x+3=0 \rightarrow  x=-3; x-2=0 \rightarrow  x=2; x+4=0 \rightarrow  x=-4; x-1=0 \rightarrow  x=1$ 

garis bilangan $\frac{3x^{2}+7x-14}{x^{2}+3x-4}\geq 2$, source: omahinfo.com

Dari gambar garis bilangan diperoleh nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas dalah $x\leq -4$ atau $-3\leq x\leq 1$ atau $x\geq 2$. 

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi pertidaksamaan yang disertai soal dan pembahasan serta dilengkapi penjelasan yang lengkap baik itu menggunakan cara biasa maupun cara cepat, yang bertujuan agar Anda dapat memahami secara mendalam apa yang menjadi dasar dalam setiap mengerjakan soal yang Anda temui. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-4 dari pelajaran matematika SMA ini bermanfaat dan terima kasih.