Persamaan Garis Lurus: Rangkuman Materi dan Contoh Soal
Rangkuman Materi Persamaan Garis Lurus disertai Contoh Soal dan Pembahasan
Rangkuman Materi Persamaan Garis Lurus, source: omahinfo.com |
Salam sobat omahinfo,
Setelah kemarin Anda belajar 4 materi yang mana
materi terakhir tentang materi pertidaksamaan, maka kali ini Anda akan
mempelajari tentang persamaan garis lurus. Berbicara tentang materi persamaan
garis lurus ini sebenarnya sudah mulai Anda pelajari ketika duduk bangku
Sekolah Menengah Pertama (SMP).
Artikel ini akan dibahas materi
persamaan garis lurus mengenai gradien garis lurus, macam-macam persamaan
garis lurus, rumus atau cara menentukan persamaan garis lurus, pergeseran
garis lurus, dan hal-hal penting lainnya yang perlu Anda ketahui disertai soal
dan pembahasan supaya Anda lebih mengerti dan memahami tentang materi ini.
Tak
perlu berlama-lama, untuk memberikan gambaran materi yang akan Anda pelajari
kali ini tentang persamaan garis lurus. Mari simak, pahami dan pelajari
tentang materi persamaan garis lurus.
Pengertian Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus bisa dikatakan sebagai sebuah pemetaan persamaan jika di
gambarkan kedalam sistem koordinat kartesius akan membentuk sebuah garis
lurus.
Sedangkan yang dimaksud dengan garis lurus adalah kumpulan
lebih dari satu titik yang letaknya sejajar satu sama lain.
Pengertian Gradien Garis Lurus
Sebelum Anda memepelajari macam dan cara menentukan persamaan garis lurus,
terlebih dahulu Anda harus mempelajari dan memahami apa itu gradien atau juga
disebut dengan kemiringan.
Gradien atau kemiringan adalah sesuatu
yang menyatakan ukuran kemiringan suatu garis lurus terhadap sumbu datar.
Simbol kemiringan atau gradien dilambangkan dengan huruf "m".
Gradien Garis Lurus
Untuk menentukan sebuah gradien pada sebuah garis lurus, ada beberapa hal yang harus Anda ketahui sehingga Anda tepat menggunakan rumus gradien persamaan garis lurus. Berikut ini rumus mencari gradien persamaan garis lurus, diantaranya:
- Gradien dari persamaan garis lurus $y=ax+b$ yaitu
$m=a$
- Gradien dari persamaan garis lurus $ax+by+c=0$ yaitu
$m=-\frac{a}{b}$
- Gradien dari persamaan garis lurus yang melalui dua titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ yaitu
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
- Gradien dari persamaan garis lurus yang membentuk sudut $\alpha $, yaitu
$m=\tan \alpha$
- Gradien daris singgung kurva yaitu
$m=y^{1}=\frac{dy}{dx}$ untuk $x=x_{1}$.
Gradien juga dapat digunakan untuk menentukan kedudukan dua garis lurus. Dua garis lurus itu memliki gradien masing masing $m_{1}$ dan $m_{2}$ dikatakan:
- Sejajar, jika memenuhi syarat $m_{1}=m_{2}$
- Saling tegak lurus, jika memenuhi syarat $m_{1}.m_{2}=-1$.
Contoh Soal 1
Tentukan Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ di titik yang berabsis 1 adalah
Penyelesaiaan
Diketahui: $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$
$x=1$
Ditanya: gradien garis singgung?
Jawab:
Ingat mencari grasien garis singgung, "Gradien daris singgung kurva yaitu $m=y^{1}=\frac{dy}{dx}$ untuk $x=x_{1}$". Berarti Anda harus mencari turunan pertama dari persamaan garis lurus itu.
$y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$
$y=x^{2}+2x^{\frac{1}{2}}-1$
$m=y^{1}=2x^{2-1}+2.\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$
$m=y^{1}=2x+x^{-\frac{1}{2}}$
subtitusikan $x=1$ ke $m=y^{1}$, maka didapat
$m=y^{1}=2.1+1^{-\frac{1}{2}}$
$m=2+1$
$m=3$
Jadi gradien garis singgung kurva $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ di titik yang berabsis 1 adalah $3$.
Rumus Persamaan Garis Lurus
Berikut ini adalah rumus atau cara untuk menentukan persamaan garis lurus diantaranya:
1. Persamaan garis lurus yang melalui titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dengan gradien m
$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan garis lurus yang titik $\left (5,8 \right )$ dan gradien $m=-4$ ?
Pembahasan
Diketahui: $\left (5,8 \right )$
$m=-4$
Ditanya: Persamaan Garis Lurus?
Jawab:
$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
misalkan $x_{1}=5;y_{1}=8$, didapat
$y-8=(-4)\left ( x-5\right )$
$y-8=-4x+20$
$y-8+4x-20=0$
$y-4x-28=0$
Jadi persamaan garis lurus yang titik $\left (5,8 \right )$ dan gradien $m=-4$ adalah $y-4x-28=0$.
2. Persamaan garis lurus yang melalui titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $\left ( x_{2},y_{2} \right )$
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$
Contoh Soal 3
Tentukan persaman garis lurus yang melalui titik $\left (3,4 \right )$ dan $\left (7,8 \right )$ ?
Pembahasan
Diketahui: $\left (3,4 \right )$
$\left (7,8 \right )$
Ditanya: Persamaan Garis Lurus?
Jawab:
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$
Misal: $x_{1}=3;y_{1}=4$,
$x_{2}=7;y_{2}=8$, maka didapat
$\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-8}{8-4}$
$\frac{x-3}{4}=\frac{y-8}{4}$
$4\left ( x-3 \right )=4\left ( y-8 \right )$
$4x-12=4y-32$
$4x-12-4y+32=0$
$4x-4y+20=0$
dibagi dengan angka 4, maka didapat
$x-y+5=0$
Jadi persaman garis lurus yang melalui titik $\left (3,4 \right )$ dan $\left (7,8 \right )$ adalah $x-y+5=0$.
3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x dan sumbu y
$ax+by=ab$
Contoh Soal 4
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (5,0 \right )$ dan $\left (0,9 \right )$?
Pembahasan
Diketahui: $\left (5,0 \right )$
$\left (0,9 \right )$
Ditanya: Persamaan Garis Lurus?
Jawab:
Cara Biasa
$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$
Misal: $x_{1}=5;y_{1}=0$,
$x_{2}=0;y_{2}=9$, maka didapat
$\frac{x-5}{0-5}=\frac{y-0}{9-0}$
$\frac{x-5}{-5}=\frac{y}{9}$
$9\left ( x-5 \right )=(-5)\left ( y \right )$
$9x-45=-5y$
$9x+5y-45=0$
Cara Cepat
$ax+by=ab$
misal $a=9$ dan $b=5$, maka didapat
$9x+5y=9.5$
$9x+5y=45$
$9x+5y-45=0$
Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (5,0 \right )$ dan $\left (0,9 \right )$ adalah $9x+5y-45=0$.
4. Persamaan garis lurus yang melalui $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan
sejajar garis $Ax+By+C=0$
$Ax+By=Ax_{1}+By_{1}$
Contoh Soal 5
Persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis $8x-2y+5=0$ dan melalui titik $\left (-4,2 \right )$ adalah
Pembahasan
Diketahui: $8x-2y+5=0$
$\left (-4,2 \right )$
$Sejajar$
Ditanya: Persamaan Garis Lurus yang sejajar?
Jawab:
Cara Biasa
Dari $8x-2y+5=0$, didapat $A=8;B=-2;C=5$
maka gradien $m_{1}$
$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$
$m_{1}=-\frac{8}{-2}$
$m_{1}=4$
Karena sejajar maka $m_{1}=m_{2}$
Maka didapat persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (-4,2 \right )$ dan $m_{1}=4$
$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$
$y-2=4\left ( x+4\right )$
$y-2=4x+16$
$4x+16-y+2=0$
$4x-y+18=0$
Cara Cepat
$Ax+By=Ax_{1}+By_{1}$
$8x-2y=8.(-4)-2.2$
$8x-2y=-32-4$
$8x-2y+36=0$
Dibagi persamaannya dibagi dengan angka 2, didapat
$4x-y+18=0$
Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (-4,2 \right )$ dan sejajar dengan garis $8x-2y+5=0$ adalah $4x-y+18=0$.
5. Persamaan garis lurus yang melalui $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan
tegak lurus garis $Ax+By+C=0$
$Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$
Contoh Soal 6
Persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (4,5 \right )$ dan tegak lurus garis $2x-3y-5=0$ adalah
Pembahasan
Diketahui: $2x-3y-5=0$
$\left (4,5 \right )$
$\text {Tegak Lurus}$
Ditanya: Persamaan Garis Lurus yang tegak lurus?
Jawab:
Cara Biasa
Dari $2x-3y-5=0$, didapat $A=2;B=-3;C=-5$
maka gradien $m_{1}$
$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$
$m_{1}=-\frac{2}{-3}$
$m_{1}=\frac{2}{3}$
Karena tegak lurus, maka $m_{1}.m_{2}=-1$,sehingga didapat
$\frac{2}{3}.m_{2}=-1$
$m_{2}=-\frac{1}{\frac{2}{3}}$
$m_{2}=-\frac{3}{2}$
Maka didapat persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (4,5 \right )$ dan $m_{2}=-\frac{3}{2}$
$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$
$y-5=-\frac{3}{2}\left ( x-4 \right )$
$y-5=-\frac{3}{2}x+6$
$y-5+\frac{3}{2}x-6=0$
$y+\frac{3}{2}x-11=0$
Dikalikan dengan angka 2, maka didapat
$2y+3x-22=0$
Cara Cepat
$Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$
$-3x-2y=-3.4-2.5$
$-3x-2y=-12-10$
$-3x-2y=-22$
$3x+2y-22=0$
Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (4,5 \right )$ dan tegak lurus garis $2x-3y-5=0$ adalah $3x+2y-22=0$.
Baca Juga: Pertidaksamaan
Pergeseran Garis Lurus
Suatu garis $Ax+By+C=0$, jika digeser ke "p" satuan
- Ke Kanan, maka didapat
$Ax+By+C-pA=0$
- Ke Kiri, maka didapat
$Ax+By+C+pA=0$
- Ke Atas, maka didapat
$Ax+By+C+pB=0$
- Ke Bawah, maka didapat
$Ax+By+C-pB=0$
Catatan
Pergeseran disebut atau dikenal juga dengan nama translasi, dari rumus-rumus diatas bisa disimpulkan, sebagai berikut:
- Jika bergeser ke atas dan kanan, maka bertanda positif
- Jika bergeser ke bawah dan kiri, maka bertanda negatif
Contoh Soal 7
Suatu garis $4x-5y+7=0$, jiks digeser 2 satuan ke kanan, maka tentukan persamaan barunya?
Pembahasan
Diketahui: $4x-5y+7=0$
Geser ke kanan 2 satuan
Ditanya: Persamaan baru?
Jawab:
Cara Biasa
$4x-5y+7=0$
Digeser kekanan 2 satuan $\begin{pmatrix}
2\\
0
\end{pmatrix}$, maka
$x,y\overset{\begin{pmatrix}
2\\
0
\end{pmatrix}}{\rightarrow}x^{1},y^{1}$
maka didapat
$x^{1}=x+2\rightarrow x=x^{1}-2$
$y^{1}=y\rightarrow y=y^{1}$
Dari $x=x^{1}-2;y=y^{1}$ subtitusikan ke $4x-5y+7=0$ untuk mendapatkan persamaan baru, maka didapat
$4\left ( x^{1}-2 \right )-5y^{1}+7=0$
$4x^{1}-8-5y^{1}+7=0$
$4x^{1}-5y^{1}-1=0$
Didapat
$4x-5y-1=0$
Cara Cepat
karena di geser 2 satuan ke kanan, maka $Ax+By+C-pA=0$
$4x-5y+7-2.4=0$
$4x-5y+7-8=0$
$4x-5y-1=0$
Jadi garis garis $4x-5y+7=0$, yang digeser 2 satuan ke kanan persamaannya menjadi $4x-5y-1=0$.
Contoh Soal 8
Persamaan garis melalui titik potong antara garis $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$ dan tegak lurus garis $4x+5y-8=0$ adalah
Pembahasan
Diketahui: Titik potong antara $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$
$\text {Tegak Lurus}$
$4x+5y-8=0$
Ditanya : Persamaan garis lurus yang tegak lurus ?
Jawab:
Cara Biasa
Misal: $2x-y-1=0$ ....(1)
$4x-y-5=0$....(2)
Dengan menggunakan metode eliminasi "$y$"pers (1) dan (2) , maka didapat
$\underline{4x-y-5=0}_{-}$
$-2x+4=0$
$2x=4$
$x=2$
Dari $x=2$, subtitusikan ke pers $2x-y-1=0$, maka didapat
$2.2-y-1=0$
$4-y-1=0$
$-y+3=0$
$y=3$
Ternyata titik koordinatnya di $\left ( 2,3 \right )$
Garis $4x+5y-8=0$, diadapat $A=4;B=5;C=-8$
maka gradien $m_{1}$
$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$
$m_{1}=-\frac{4}{5}$
Karena tegak lurus, maka $m_{1}.m_{2}=-1$,sehingga didapat
-$\frac{4}{5}.m_{2}=-1$
$m_{2}=-\frac{1}{-\frac{4}{5}}$
$m_{2}=\frac{5}{4}$
Sehingga didapat garis yang dimaksud adalah
$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$
$y-3=\frac{5}{4}\left ( x-2 \right )$
$y-3=\frac{5}{4}x-\frac{5}{2}$
$\frac{5}{4}x-y+3-\frac{5}{2}=0$
$\frac{5}{4}x-y+\frac{6-5}{2}=0$
$\frac{5}{4}x-y+\frac{1}{2}=0$
Dikalikan Angka 4, maka didapat
$5x-4y+2=0$
Cara Cepat
Garis $4x+5y-8=0$, diadapat $A=4;B=5;C=-8$
maka gradien $m_{1}$
$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$
$m_{1}=-\frac{4}{5}$, maka $m_{2}=\frac{5}{4}$
(Jika ini soal pilihaan ganda carilah jawaban dengan nilai gradiennya $\frac{5}{4}$)
Setelah Anda mendapatkan titik koordinat
$\left ( 2,3 \right )$
$Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$
$5x-4y=5.2-4.3$
$5x-4y=10-12$
$5x-4y=-2$
$5x-4y+2=0$
Jadi persamaan garis yang melalui titik potong antara garis $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$ dan tegak lurus garis $4x+5y-8=0$ adalah $5x-4y+2=0$.
Baca Juga: Rangkuman Materi Matriks
Hal Penting Lainnya di Persamaan Garis Lurus yang Perlu Anda Ketahui
Gambar Koordinat Titik Tengah Garis dan Titik Berat Segitiga, source:
omahinfo.com |
1. Koordinat Titik Tengah Garis
Untuk mencari titik tengahnya gunakan rumus berikut ini
$T=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$
2. Koordinat Titik Berat Segitiga
Untuk mencari koordinat titik berat dan jarak ke S ke B gunakan rumus
$B=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \right )$
$SB=\frac{1}{3}SR$
3. Tiga Titik Segaris
Misalnya: $P\left ( x_{1},y_{1} \right );Q\left ( x_{2},y_{2} \right );R\left ( x_{3},y_{3} \right )$
Berlaku:
$\begin{vmatrix}
x_{1},y_{1} & 1\\
x_{2},y_{2} & 1\\
x_{3},y_{3} & 1
\end{vmatrix}=0$
4. Tiga Titik Membentuk Segitiga
$\begin{vmatrix}
x_{1},y_{1} & 1\\
x_{2},y_{2} & 1\\
x_{3},y_{3} & 1
\end{vmatrix}\neq0$
Luas PQR adalah
$L=\begin{vmatrix}
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_{1}& y_{1}\\
x_{2}& y_{2}\\
x_{3}& y_{3}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
1\\
1\\
1\end{matrix}
\end{vmatrix}$
5. Sudut Antara Dua Garis
$\tan \alpha =\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}.m_{2}}$
Gambar Jarak titik ke garis dan Jarak Antara dua garis yang sejajar,
source: omahinfo.com |
6. Jarak Titik Ke Garis
$PQ=d=\left | \frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right |$
7. Jarak Antara Dua Garis Yang Sejajar
$d=\left | \frac{C-P}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right |$
Kesimpulan
Itulah rangkuman materi persamaan garis lurus yang mana saya sertakan beberapa soal biasa dan pengembangan dan pembahasan yang saya usahakan mendetail agar Anda mudah memahami setiap langkah untuk mengerjakan soalnya. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-5 dari pelajaran matematika SMA tentang persamaan garis lurus ini bermanfaat dan terima kasih.
Post a Comment