Persamaan Garis Lurus: Rangkuman Materi Dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Persamaan Garis Lurus disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Rangkuman Materi Persamaan Garis Lurus, source: omahinfo.com

Salam sobat omahinfo,
Setelah kemarin Anda belajar 4 materi yang mana materi terakhir tentang materi pertidaksamaan, maka kali ini Anda akan mempelajari tentang persamaan garis lurus. Berbicara tentang materi persamaan garis lurus ini sebenarnya sudah mulai Anda pelajari ketika duduk bangku Sekolah Menengah Pertama (SMP).

Artikel ini akan dibahas materi persamaan garis lurus mengenai gradien garis lurus, macam-macam persamaan garis lurus, rumus atau cara menentukan persamaan garis lurus, pergeseran garis lurus, dan hal-hal penting lainnya yang perlu Anda ketahui disertai soal dan pembahasan supaya Anda lebih mengerti dan memahami tentang materi ini.

Tak perlu berlama-lama, untuk memberikan gambaran materi yang akan Anda pelajari kali ini tentang persamaan garis lurus. Mari simak, pahami dan pelajari tentang materi persamaan garis lurus.

Pengertian Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus bisa dikatakan sebagai sebuah pemetaan persamaan jika di gambarkan kedalam sistem koordinat kartesius akan membentuk sebuah garis lurus.

Sedangkan yang dimaksud dengan garis lurus adalah kumpulan lebih dari satu titik yang letaknya sejajar satu sama lain.

Pengertian Gradien Garis Lurus

Sebelum Anda memepelajari macam dan cara menentukan persamaan garis lurus, terlebih dahulu Anda harus mempelajari dan memahami apa itu gradien atau juga disebut dengan kemiringan.

Gradien atau kemiringan adalah sesuatu yang menyatakan ukuran kemiringan suatu garis lurus terhadap sumbu datar. Simbol kemiringan atau gradien dilambangkan dengan huruf "m".

Gradien Garis Lurus

Untuk menentukan sebuah gradien pada sebuah garis lurus, ada beberapa hal yang harus Anda ketahui sehingga Anda tepat menggunakan rumus gradien persamaan garis lurus. Berikut ini rumus mencari gradien persamaan garis lurus, diantaranya:

• Gradien dari persamaan garis lurus $y=ax+b$ yaitu 

$m=a$

• Gradien dari persamaan garis lurus $ax+by+c=0$ yaitu 

$m=-\frac{a}{b}$

• Gradien dari persamaan garis lurus yang melalui dua titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ yaitu 

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

•  Gradien dari persamaan garis lurus yang membentuk sudut $\alpha $, yaitu 

$m=\tan \alpha$

• Gradien daris singgung kurva yaitu 

$m=y^{1}=\frac{dy}{dx}$ untuk $x=x_{1}$.

Gradien juga dapat digunakan untuk menentukan kedudukan dua garis lurus. Dua garis lurus itu memliki gradien masing masing $m_{1}$ dan $m_{2}$ dikatakan:

1. Sejajar, jika memenuhi syarat $m_{1}=m_{2}$
2. Saling tegak lurus, jika memenuhi syarat $m_{1}.m_{2}=-1$.

 Contoh Soal 1

Tentukan Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ di titik yang berabsis 1 adalah

Penyelesaiaan

Diketahui: $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ 

                   $x=1$

Ditanya: gradien garis singgung?

Jawab:

Ingat mencari grasien garis singgung, "Gradien daris singgung kurva yaitu $m=y^{1}=\frac{dy}{dx}$ untuk $x=x_{1}$". Berarti Anda harus mencari turunan pertama dari persamaan garis lurus itu.

$y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ 

$y=x^{2}+2x^{\frac{1}{2}}-1$

$m=y^{1}=2x^{2-1}+2.\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

$m=y^{1}=2x+x^{-\frac{1}{2}}$

subtitusikan $x=1$ ke $m=y^{1}$, maka didapat

$m=y^{1}=2.1+1^{-\frac{1}{2}}$

$m=2+1$

$m=3$

Jadi gradien garis singgung kurva $y=x^{2}+2\sqrt{x}-1$ di titik yang berabsis 1 adalah $3$.

 

Rumus Persamaan Garis Lurus

Berikut ini adalah rumus atau cara untuk menentukan persamaan garis lurus diantaranya:

1. Persamaan garis lurus yang melalui titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dengan gradien m 

$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$

 Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis lurus yang titik $\left (5,8 \right )$ dan gradien $m=-4$ ?

Pembahasan

Diketahui: $\left (5,8 \right )$

                  $m=-4$

Ditanya: Persamaan Garis Lurus? 

Jawab:

$y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$

misalkan $x_{1}=5;y_{1}=8$, didapat

$y-8=(-4)\left ( x-5\right )$

$y-8=-4x+20$

$y-8+4x-20=0$

$y-4x-28=0$

Jadi persamaan garis lurus yang titik $\left (5,8 \right )$ dan gradien $m=-4$ adalah $y-4x-28=0$.

2. Persamaan garis lurus yang melalui titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ 

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$

Contoh Soal 3

Tentukan persaman garis lurus yang melalui titik $\left (3,4 \right )$ dan $\left (7,8 \right )$ ?

Pembahasan

Diketahui: $\left (3,4 \right )$

                  $\left (7,8 \right )$

Ditanya: Persamaan Garis Lurus? 

Jawab:

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$

Misal: $x_{1}=3;y_{1}=4$,

           $x_{2}=7;y_{2}=8$, maka didapat

$\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-8}{8-4}$

$\frac{x-3}{4}=\frac{y-8}{4}$

$4\left ( x-3 \right )=4\left ( y-8 \right )$ 

$4x-12=4y-32$

$4x-12-4y+32=0$

$4x-4y+20=0$

dibagi dengan angka 4, maka didapat

$x-y+5=0$

Jadi persaman garis lurus yang melalui titik $\left (3,4 \right )$ dan $\left (7,8 \right )$ adalah $x-y+5=0$.

 

3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x dan sumbu y 

 $ax+by=ab$

 Contoh Soal 4

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (5,0 \right )$ dan $\left (0,9 \right )$?

Pembahasan

Diketahui: $\left (5,0 \right )$

                  $\left (0,9 \right )$

Ditanya: Persamaan Garis Lurus? 

Jawab:

Cara Biasa

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$

Misal: $x_{1}=5;y_{1}=0$,

           $x_{2}=0;y_{2}=9$, maka didapat

$\frac{x-5}{0-5}=\frac{y-0}{9-0}$ 

$\frac{x-5}{-5}=\frac{y}{9}$ 

$9\left ( x-5 \right )=(-5)\left ( y \right )$ 

$9x-45=-5y$

$9x+5y-45=0$

Cara Cepat

$ax+by=ab$

misal $a=9$ dan $b=5$, maka didapat

$9x+5y=9.5$

$9x+5y=45$

$9x+5y-45=0$

Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (5,0 \right )$ dan $\left (0,9 \right )$ adalah $9x+5y-45=0$.

 

4. Persamaan garis lurus yang melalui $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan sejajar garis $Ax+By+C=0$

 $Ax+By=Ax_{1}+By_{1}$

Contoh Soal 5

Persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis $8x-2y+5=0$ dan melalui titik $\left (-4,2 \right )$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $8x-2y+5=0$

                  $\left (-4,2 \right )$ 

                  $Sejajar$

Ditanya: Persamaan Garis Lurus yang sejajar? 

Jawab:

Cara Biasa

Dari $8x-2y+5=0$, didapat $A=8;B=-2;C=5$

maka gradien $m_{1}$

$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$

$m_{1}=-\frac{8}{-2}$

$m_{1}=4$

Karena sejajar maka $m_{1}=m_{2}$ 

Maka didapat persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (-4,2 \right )$ dan $m_{1}=4$

$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$

$y-2=4\left ( x+4\right )$

$y-2=4x+16$

$4x+16-y+2=0$

$4x-y+18=0$

Cara Cepat

$Ax+By=Ax_{1}+By_{1}$

$8x-2y=8.(-4)-2.2$

$8x-2y=-32-4$

$8x-2y+36=0$

Dibagi persamaannya dibagi dengan angka 2, didapat

$4x-y+18=0$

Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (-4,2 \right )$ dan sejajar dengan garis $8x-2y+5=0$ adalah $4x-y+18=0$.

 

5. Persamaan garis lurus yang melalui $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan tegak lurus garis $Ax+By+C=0$

 $Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$

Contoh Soal 6

Persamaan garis lurus yang melalui titik  $\left (4,5 \right )$ dan tegak lurus garis $2x-3y-5=0$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $2x-3y-5=0$

                  $\left (4,5 \right )$

                  $\text {Tegak Lurus}$

Ditanya: Persamaan Garis Lurus yang tegak lurus? 

Jawab:

Cara Biasa

Dari $2x-3y-5=0$, didapat $A=2;B=-3;C=-5$

maka gradien $m_{1}$

$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$

$m_{1}=-\frac{2}{-3}$

$m_{1}=\frac{2}{3}$

Karena tegak lurus, maka $m_{1}.m_{2}=-1$,sehingga didapat

$\frac{2}{3}.m_{2}=-1$

$m_{2}=-\frac{1}{\frac{2}{3}}$

$m_{2}=-\frac{3}{2}$ 

Maka didapat persamaan garis lurus yang melalui titik $\left (4,5 \right )$ dan $m_{2}=-\frac{3}{2}$ 

$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$

$y-5=-\frac{3}{2}\left ( x-4 \right )$

$y-5=-\frac{3}{2}x+6$

$y-5+\frac{3}{2}x-6=0$

$y+\frac{3}{2}x-11=0$

Dikalikan dengan angka 2, maka didapat

$2y+3x-22=0$

Cara Cepat

$Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$

$-3x-2y=-3.4-2.5$

$-3x-2y=-12-10$

$-3x-2y=-22$

$3x+2y-22=0$ 

Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik  $\left (4,5 \right )$ dan tegak lurus garis $2x-3y-5=0$ adalah $3x+2y-22=0$.

Baca Juga: Pertidaksamaan

Pergeseran Garis Lurus

Suatu garis $Ax+By+C=0$, jika digeser ke "p" satuan

• Ke Kanan, maka didapat

$Ax+By+C-pA=0$

• Ke Kiri, maka didapat

$Ax+By+C+pA=0$

• Ke Atas, maka didapat

$Ax+By+C+pB=0$

• Ke Bawah, maka didapat

$Ax+By+C-pB=0$

Catatan 

Pergeseran disebut atau dikenal juga dengan nama translasi, dari rumus-rumus diatas bisa disimpulkan, sebagai berikut:

1. Jika bergeser ke atas dan kanan, maka bertanda positif
   
2. Jika bergeser ke bawah dan kiri, maka bertanda negatif

 

Contoh Soal 7

Suatu garis $4x-5y+7=0$, jiks digeser 2 satuan ke kanan, maka tentukan persamaan barunya?

Pembahasan

Diketahui: $4x-5y+7=0$

                  Geser ke kanan 2 satuan 

Ditanya: Persamaan baru?

Jawab:

Cara Biasa

$4x-5y+7=0$

Digeser kekanan 2 satuan $\begin{pmatrix}
2\\
0
\end{pmatrix}$, maka

$x,y\overset{\begin{pmatrix}
2\\
0
\end{pmatrix}}{\rightarrow}x^{1},y^{1}$

maka didapat

$x^{1}=x+2\rightarrow x=x^{1}-2$
$y^{1}=y\rightarrow y=y^{1}$

Dari  $x=x^{1}-2;y=y^{1}$ subtitusikan ke $4x-5y+7=0$ untuk mendapatkan persamaan baru, maka didapat

$4\left ( x^{1}-2 \right )-5y^{1}+7=0$

$4x^{1}-8-5y^{1}+7=0$ 

$4x^{1}-5y^{1}-1=0$

Didapat

$4x-5y-1=0$

Cara Cepat

karena di geser 2 satuan ke kanan, maka $Ax+By+C-pA=0$

$4x-5y+7-2.4=0$

$4x-5y+7-8=0$

$4x-5y-1=0$

Jadi garis garis $4x-5y+7=0$, yang digeser 2 satuan ke kanan persamaannya menjadi $4x-5y-1=0$.

 

Contoh Soal 8

Persamaan garis melalui titik potong antara garis $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$ dan tegak lurus garis $4x+5y-8=0$ adalah

Pembahasan

Diketahui: Titik potong antara $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$

                  $\text {Tegak Lurus}$

                  $4x+5y-8=0$

Ditanya  : Persamaan garis lurus yang tegak lurus ?

Jawab:

Cara Biasa

Misal: $2x-y-1=0$ ....(1) 

            $4x-y-5=0$....(2)

Dengan menggunakan metode eliminasi "$y$"pers (1) dan (2) , maka didapat

$2x-y-1=0$
$\underline{4x-y-5=0}_{-}$

$-2x+4=0$

$2x=4$ 

$x=2$

Dari  $x=2$, subtitusikan ke pers $2x-y-1=0$, maka didapat

$2.2-y-1=0$ 

$4-y-1=0$  

$-y+3=0$ 

$y=3$ 

Ternyata titik koordinatnya di $\left ( 2,3 \right )$ 

Garis $4x+5y-8=0$, diadapat $A=4;B=5;C=-8$

maka gradien $m_{1}$

$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$

$m_{1}=-\frac{4}{5}$

Karena tegak lurus, maka $m_{1}.m_{2}=-1$,sehingga didapat

-$\frac{4}{5}.m_{2}=-1$

$m_{2}=-\frac{1}{-\frac{4}{5}}$

$m_{2}=\frac{5}{4}$ 

Sehingga didapat garis yang dimaksud adalah

$y-y_{1}=m_{2}\left ( x-x_{1} \right )$

$y-3=\frac{5}{4}\left ( x-2 \right )$

$y-3=\frac{5}{4}x-\frac{5}{2}$

$\frac{5}{4}x-y+3-\frac{5}{2}=0$

$\frac{5}{4}x-y+\frac{6-5}{2}=0$

$\frac{5}{4}x-y+\frac{1}{2}=0$

Dikalikan Angka 4, maka didapat

$5x-4y+2=0$

Cara Cepat

Garis $4x+5y-8=0$, diadapat $A=4;B=5;C=-8$

maka gradien $m_{1}$

$m_{1}=m=-\frac{A}{B}$

$m_{1}=-\frac{4}{5}$, maka $m_{2}=\frac{5}{4}$

(Jika ini soal pilihaan ganda carilah jawaban dengan nilai gradiennya $\frac{5}{4}$)

 Setelah Anda mendapatkan titik koordinat $\left ( 2,3 \right )$

$Bx-Ay=Bx_{1}-Ay_{1}$

$5x-4y=5.2-4.3$

$5x-4y=10-12$

$5x-4y=-2$

$5x-4y+2=0$

Jadi persamaan garis yang melalui titik potong antara garis $2x-y-1=0$ dan $4x-y-5=0$ dan tegak lurus garis $4x+5y-8=0$ adalah $5x-4y+2=0$. 

Baca Juga: Rangkuman Materi Matriks

 

Hal Penting Lainnya di Persamaan Garis Lurus yang Perlu Anda Ketahui

Gambar Koordinat Titik Tengah Garis dan Titik Berat Segitiga, source: omahinfo.com

1. Koordinat Titik Tengah Garis

Untuk mencari titik tengahnya gunakan rumus berikut ini

$T=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$

 

2. Koordinat Titik Berat Segitiga

Untuk mencari koordinat titik berat dan jarak ke S ke B gunakan rumus  

$B=\left ( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \right )$

$SB=\frac{1}{3}SR$

3. Tiga Titik Segaris

Misalnya: $P\left ( x_{1},y_{1} \right );Q\left ( x_{2},y_{2} \right );R\left ( x_{3},y_{3} \right )$

Berlaku:

$\begin{vmatrix}
x_{1},y_{1} & 1\\
x_{2},y_{2} & 1\\
x_{3},y_{3} & 1
\end{vmatrix}=0$

4. Tiga Titik Membentuk Segitiga

$\begin{vmatrix}
x_{1},y_{1} & 1\\
x_{2},y_{2} & 1\\
x_{3},y_{3} & 1
\end{vmatrix}\neq0$

Luas PQR adalah

$L=\begin{vmatrix}
\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_{1}& y_{1}\\
x_{2}& y_{2}\\
x_{3}& y_{3}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
1\\
1\\

1\end{matrix}
\end{vmatrix}$ 

5. Sudut Antara Dua Garis

$\tan \alpha =\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}.m_{2}}$

 

Gambar Jarak titik ke garis dan Jarak Antara dua garis yang sejajar, source: omahinfo.com

6. Jarak Titik Ke Garis

$PQ=d=\left | \frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right |$

7. Jarak Antara Dua Garis Yang Sejajar

$d=\left | \frac{C-P}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\right |$

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi persamaan garis lurus yang mana saya sertakan beberapa soal biasa dan pengembangan dan pembahasan yang saya usahakan mendetail agar Anda mudah memahami setiap langkah untuk mengerjakan soalnya. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-5 dari pelajaran matematika SMA tentang persamaan garis lurus ini bermanfaat dan terima kasih.