Eksponen dan Logaritma: Rangkuman Materi dan Contoh Soal

Table of Contents

Rangkuman Materi Eksponen dan Logaritma disertai Contoh Soal dan Pembahasan

Rangkuman Materi Eksponen dan Logaritma, source: omahinfo.com

Salam sobat omahinfo,

Setelah kemarin belajar mengenai persamaan garis lingkaran, kali ini Anda akan mempelajari tentang eksponen dan logaritma. Materi Eksponen dan logaritma adalah materi yang tidak bisa dipisahkan. Sehingga disini akan memuat rangkuman materi eksponen dan logaritma yang disertai contoh soal dan pembahasan.

Dalam materi eksponen atau bilangan berpangkat, Anda akan dikenalkan dengan cara menentukan hasil dari suatu bilangan berpankat dan materi logaritma sendiri, Anda akan mempelajari tentang kebalikan dari eksponen atau menentukan besar pangkat.

Tidak perlu berlama-lama lagi, mari kita pelajari dan pahami rangkuman materi eksponen dan logaritma yang disertai contoh soal dan pembahasan dibawah ini. Sebelum itu mari kita pelajari dulu pengertian dari eksponen dan logaritma.

Pengertian Eksponen

Eksponen atau bilangan berpangkat adalah suatu bilangan yang berfungsi dalam menyederhanakan penulisan yang menunjukan sebara banyak sebuah bilangan dikalikan dengan bilangan tersebut. Coba Anda bayangkan, jika angka dikalikan dengan banyak secara tidak langsung akan menyulitkan dalam penulisan

Eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai bn, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok b dan eksponen atau pangkat n. source: wikipedia

Bentuk Umum

$a\times a\times a\times a\times a...\times a=a^{n}$, dibaca a pangkat n

Keterangan: 
a: bilangan pokok
n: pangkat atau eksponen

Contoh
$3\times 3\times 3\times 3\times 3\times3\times 3$ bisa ditulis dengan $3^{7}$
$5\times 5\times 5\times 5\times 5$ bisa ditulis dengan $5^{5}$

 

Sifat-Sifat Eksponen

Eksponen memiliki beberapa sifat yang harus Anda pelajari dan pahami, hal ini berguna untuk penyelesaian soal persamaan maupun pertidaksamaan eksponen, yaitu:

1. $a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$
2. $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
3. $a^{n}. b^{n}=\left ( a.b \right )^{n}$
4. $\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}$
5. $\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m.n}$
6. $a^{0}=1$
7. $\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
8. $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a.b}$
9. $\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}$
10. $a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{n}}}$

 Baca Juga: Asah Kembali Soal-Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran

 

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang mana pangkat atau bilangan pokok (basis) dan pangkatnya memuat sebuah variabel. Jika $a>0$ dan $a\neq 0$, maka  Bentuk Persamaan Eksponen yaitu

1. $a^{f\left ( x \right )}=1\rightarrow f\left ( x \right )=0$
2. $a^{f\left ( x \right )}=a^{p}\rightarrow f\left ( x \right )=p$
3. $a^{f\left ( x \right )}=a^{g\left ( x \right )}\rightarrow f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$
4. $a^{f\left ( x \right )}=b^{g\left ( x \right )}\rightarrow f\left ( x \right )\log a=g\left ( x \right )\log b$
5. Bentuk Kuadrat: $A\left ( x^{f\left ( x \right )} \right )^{2}+Bx^{f\left ( x \right )}+C=0$
6. $a^{mx+n}=b^{px+q} \rightarrow x=^{\frac{a^{m}}{b^{p}}}\log \frac{b^{q}}{a^{n}}$

 

Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk Umum Pertidaksamaan Eksponen

Untuk $a\geq 1$

$a^{f\left ( x \right )}\geq a^{g\left ( x \right )}\rightarrow f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$

Tanda pertidaksamaan tidak berubah (tetap)

Untuk $0<a<1$

$a^{f\left ( x \right )}\geq a^{g\left ( x \right )}\rightarrow f\left ( x \right )\leq  g\left ( x \right )$

Tanda pertidaksamaan berubah

Catatan: Untuk tanda pertidaksamaan dapat berubah: $>$, $<$, $\geq$ atau $\leq$.  

 

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah sebuah operasi matematika dari kebalikan (atau invers) dari eksponen atau bilangan berpangkat.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan. source: wikipedia

Basis atau pokok dalam rumus logaritma biasanya berupa huruf a.

Bentuk Umum Logaritma

$a^{n}=x \leftrightarrow ^{a}\log x=n$

dengan $a>0$ dan $a\neq 0$.

Keterangan
a: basis atau bilangan pokok logaritma
x: bilangan yang dicari nilai logaritmanya (numerus)
n: besar pangkat / nilai logaritma

Contoh
$^{3}\log 81=n\rightarrow n=4$, karena $3^{4}=81$
$^{4}\log 64=n\rightarrow n=3$, karena $4^{3}=64$

Sifat-Sifat Logaritma

Jika Anda tadi belajar tentang sifat eksponen, maka logaritma juga memiliki beberapa sifat yang harus Anda pahami dan pelajari. Berikut beberapa sifat logaritma:

1. $^{a}\log a= 1$
2. $^{a}\log 1= 0$
3. $a. ^{a}\log b=b$
4. $^{a}\log b.c= ^{a}\log b + ^{a}\log c$
5. $^{a}\log \frac{b}{c}= ^{a}\log b - ^{a}\log c$
6. $^{a}\log b=\frac{\log b}{\log a}=\frac{1}{^{b}\log a}$
7. $^{a}\log b=^{c}\log b : ^{c}\log a$
   
8. $^{a}\log b . ^{b}\log c . ^{c}\log d=^{a}\log d$
9. $^{a}\log a^{n}= n$
10. $^{a}\log b^{n}= n. ^{a}\log b$
11. $^{a^{n}}\log b^{m}=\frac{m}{n}.{a}\log b$

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang mana peubahnya merupakan bilangan pokok logaritma. Berikut ini bentuk persamaan logaritma

1. $^{a}\log f\left ( x \right )=^{a}\log g\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$. Dimana $f\left ( x \right )> 0$ dan $g\left ( x \right )> 0$, selain itu $g\left ( x \right )$ bisa juga konstanta
2. $A\left ( ^{a}\log f\left ( x \right ) \right )^{2}+ B\left ( ^{a}\log f\left ( x \right ) \right )+C=0$. Bentuk persamaan kuadrat diatas bisa diselesaikan dengan memanfaatkan sifat-sifat kuadrat dan logaritma.
3. $a^{p.^{a}\log f\left ( x \right )}=b^{p}\rightarrow f\left ( x \right )=b$
4. Nilai Maksimum: $f\left ( x \right )=^{a}\log b+^{a}\log c\rightarrow f\left ( x \right )_{maks}=^{a}\log\left [ \frac{b+c}{2} \right ]^{2}$

 

Pertidaksamaan Logaritma

 Untuk a>1

$^{a}\log f\left ( x \right )>^{a}\log g\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$

Untuk 0<a<1

$^{a}\log f\left ( x \right )>^{a}\log g\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$

 

Contoh Soal Dan Pembahasan Eksponen dan Logaritma

Berikut ini beberapa contoh soal ekponen dan logaritma disertai dengan pembahasan lengkap.

Contoh Soal 1

Tentukan penyelesaiaan dari soal-soal dibawah ini

1. $\left (2a^{4}  \right )^{5}: 4a^{3}$
2. $\sqrt[6]{2^{4}}$
3. $4^{2x+1}=64$
4. $3^{2x+1}-3^x-2=0$
5. $3^{2x+4}> 9^{3x-5}$

Pembahasan

Diketahui:  $\left (2a^{4}  \right )^{5}: 4a^{3}$

                    $\sqrt[6]{2^{4}}$

                    $4^{2x+1}=64$

                    $3^{2x+1}-3^x-2=0$

                    $3^{2x+4}> 9^{3x-5}$

Ditanya: penyelesaiaaanya?

Jawab

1.  $\left (2a^{4}  \right )^{5}: 4a^{3}\rightarrow \frac{2^{5}.\left ( a^{4} \right )^{5}}{4a^{3}}$

$\rightarrow \frac{2^{5}.a^{20}}{2^{2}.a^{3}}$

$\rightarrow 2^{5-2}.a^{20-3}$

$\rightarrow 2^{3}.a^{17}$

 

2. $\sqrt[6]{2^{4}}\rightarrow 2^{\frac{4}{6}}$

 

3. $4^{2x+1}=64\rightarrow \left (2^{2}  \right )^{2x+1}=2^{6}$

$\rightarrow 2^{4x+2}=2^{6}$

$\rightarrow 4x+2=6$

$\rightarrow 4x=6-2$

$\rightarrow 4x=4$

$\rightarrow x=1$

 

4. $3^{2x+1}-3x-2=0\rightarrow 3^2x.3^2-3^x-2=0$

$\rightarrow 3.\left (3^x  \right )^{2}-3^x-2=0$

Misal: $3^x: y$

$\rightarrow 3y^{2}-y-2=0$

$\rightarrow \left ( 3y+2 \right )\left ( y-1 \right )=0$

$\rightarrow y=-\frac{2}{3}$ dan $y=1$

Untuk mengerjakan persamaan pangkat eksponen tersebut, ayo diingat kembali sifat-sifat eksponen. Setelah menemukan nilai dari y, sekarang kita ubah nilai tersebut kedalam $3^x$, maka:

Untuk $y= -\frac{2}{3}$

$\rightarrow3^x=-\frac{2}{3} \rightarrow \text{tidak ada nilai x yg memenuhi}$

Untuk $y=1$

$3^x=1$

$x=0$

 

5. $3^{2x+2}> 9^{3x-5}\rightarrow 3^{2x+2}> \left (3^2  \right )^{3x-5}$

$\rightarrow 3^{2x+2}> 3^{6x-10}$

$\rightarrow 2x+2> 6x-10$

$\rightarrow 10+2> 6x-2x$

$\rightarrow 12> 4x$

$\rightarrow 3> x$

 

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaiaan dari soal-soal dibawah ini

1. $^{3}\log 9 + ^{3}\log 27$
2. Bila diketahui $^{3}\log 5=a$ dan $^{3}\log 6=b$, maka carilah nilai dari $^{18}\log 15$
3. Diketahui $^{3}\log 5$ dan $^{3}\log 7=b$, maka tentukan nilai dari $^{3}\log 245^{\frac{1}{2}}$

Pembahasan

Diketahui:  $^{3}\log 9 + ^{3}\log 27$

                  $^{3}\log 5=a$ dan $^{3}\log 6=b$

                 $^{3}\log 5$ dan $^{3}\log 7=b$

Ditanya: 1. Penyelesaian?

               2. nilai dari $^{18}\log 15$?

               3. $^{3}\log 245^{\frac{1}{2}}$?

Jawab:

1. $^{3}\log 9 + ^{3}\log 27\rightarrow ^{3}\log \left (9.27  \right )$

$\rightarrow ^{3}\log 243$

$\rightarrow ^{3}\log 3^{5}$

$\rightarrow 5. ^{3}\log 3$

$\rightarrow 5. 1$

$\rightarrow 5$

2. $^{18}\log 15\rightarrow ^{3}\log 15 : ^{3}\log 18$

$\rightarrow \frac{^{3}\log \left (5.3  \right )}{^{3}\log \left (6.3  \right ) }$

$\rightarrow \frac{^{3}\log 5 + ^{3}\log 3}{^{3}\log 6 + ^{3}\log 3}$

$\rightarrow \frac{a + 1}{b + 1}$

3.$ ^{3}\log 245^{\frac{1}{2}}\rightarrow \frac{1}{2}. ^{3}\log 245$ 

$\rightarrow \frac{1}{2}. ^{3}\log \left (5.49  \right )$

$\rightarrow \frac{1}{2}. \left (^{3}\log 5 + ^{3}\log 49  \right )$

$\rightarrow \frac{1}{2}. \left (^{3}\log 5 + ^{3}\log 7^{2}  \right )$

$\rightarrow \frac{1}{2}. \left (^{3}\log 5 + 2(^{3}\log 7)  \right )$

$\rightarrow \frac{1}{2}. \left (a + 2(b)  \right )$

$\rightarrow \frac{1}{2}. \left (a + 2b \right )$

 

Contoh Soal 3

$3^{x+1}=4^{x-1}$, maka tentukan nilai x adalah

Pembahasan

Diketahui: $3^{x+1}=4^{x-1}$

Ditanya: x?

Jawab

Cara Biasa

$3^{x+1}=4^{x-1}\rightarrow \log 3^{x+1}=\log 4^{x-1}$

$\rightarrow \left ( x+1 \right )\log 3=\left ( x-1 \right )\log 4$

$\rightarrow x\log 3+\log 3=x\log 4-\log 4$

$\rightarrow \log 4+\log 3=x\log 4- x\log 3$

$\rightarrow \log 4.3=x\left (\log 4- \log 3  \right )$

$\rightarrow \log 12=x\log \frac{4}{3}$

$\rightarrow x=\frac{\log 12}{\log \frac{4}{3}}$

Ingat sifat logaritma $^{a}\log b=\frac{\log b}{\log a}$

$\rightarrow x=^{\frac{4}{3}}\log 12$

Cara Cepat

Ingat salah satu rumus persamaan eksponen $a^{mx+n}=b^{px+q} \rightarrow x=^{\frac{a^{m}}{b^{p}}}\log \frac{b^{q}}{a^{n}}$, maka

$a=3;b=4;m=1;n=1;p=1;q=1$

$3^{x+1}=4^{x-1}\rightarrow x=^{\frac{3^{1}}{4^{1}}}\log \frac{4^{-1}}{3^{1}}$

$\rightarrow x=^{\frac{3}{4}}\log\frac{1}{12}$

$\rightarrow x=^{\frac{4}{3}}\log 12$

Contoh Soal 4

Himpunan Penyelesaian persamaan $9^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}=25$ adalah

Pembahasan

Diketahui: $9^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}=25$

Ditanya:  Himpunan Penyelesaian?

Jawab:

Catatan: tanda titik "." dalam pengerjaan ini bukan pengganti perkalian, hanya untuk memanipulasi penggunaan syntax.

$9^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}=25\rightarrow 3^{2}.^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}=25$

$\rightarrow 3^{2}.^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}=25$

$\rightarrow 3^{.^{3}\log \left ( 2x-1 \right )}.^{2}=25$

Ingat rumus $a^{p.^{a}\log f\left ( x \right )}=b^{p}\rightarrow f\left ( x \right )=b$

$\rightarrow \left ( 2x-1 \right )^{2}=5^{2}$

$\rightarrow 2x-1=5$

$\rightarrow 2x=5+1$

$\rightarrow 2x=6$

$\rightarrow x=3$

 

 Baca Juga: Mean, Modus Dan Median

 

Contoh Soal 5 

Bila diketahui $f\left ( x \right )= ^{2}\log \left ( x+5 \right ) + ^{2}\log \left ( 3-x \right )$, maka tentukan nilai maksimumnya?

Pembahasan

Diketahui: $f\left ( x \right )= ^{2}\log \left ( x+5 \right ) + ^{2}\log \left ( 3-x \right )$

Ditanya:  $f\left ( x \right )_{maks}$?

Jawab:

Cara Biasa

$f\left ( x \right )= ^{2}\log \left ( x+5 \right ) + ^{2}\log \left ( 3-x \right ) \rightarrow ^{2}\log \left ( x+5 \right )\left ( 3-x \right )$

$\rightarrow ^{2}\log \left ( -x^{2}-2x+15 \right )$

misalkan $y= -x^{2}-2x+15$

$f\left ( x \right )_{maks}$ maka y harus maksimal

$y^{1}=-2x-2\rightarrow -2x-2=0$

$\rightarrow -2x=2$

$\rightarrow x=-1$

$f\left ( x \right )_{maks}\rightarrow  f\left ( -1 \right )= ^{2}\log \left ( -(-1)^{2}-2(-1)+15 \right )$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )= ^{2}\log \left ( -1+2+15 \right )$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )= ^{2}\log 16$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )= ^{2}\log 2^{4}$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )=4. ^{2}\log 2$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )=4. 1$

$\rightarrow f\left ( -1 \right )=4$

Cara Cepat
Ingat Persamaan Logaritma tentang Nilai Maksimum: 

$f\left ( x \right )=^{a}\log b+^{a}\log c\rightarrow f\left ( x \right )_{maks}=^{a}\log\left [ \frac{b+c}{2} \right ]^{2}$, maka

$f\left ( x \right )_{maks}=^{2}\log\left [ \frac{x+5+3-x}{2} \right ]^{2}=^{2}\log 16=4$

 

Kesimpulan

Itulah rangkuman materi eksponen dan logaritma baik itu dari pengertian, sifat, persamaan, pertidaksamaan dan telah disertai dengan beberapa contoh soal serta pembahsan yang lengkap. Jika ada yang kurang atau keliru dalam artikel ini atau ada yang ingin ditanyakan, silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-9 dari pelajaran matematika SMA tentang eksponen dan logaritma ini bermanfaat dan terima kasih.