Statistika: Rangkuman Materi dan Contoh Soal
Rangkuman Materi Statistika disertai Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap
 |
| Rangkuman Materi Statistika disertai Contoh Soal dan Pembahasan, source: omahinfo.com |
Salam sobat omahinfo,
Sebelumnya Anda telah belajar tentang materi
eksponen dan logaritma matematika, Kali Ini Anda akan mempelajari materi
selanjutnya tentang statistika. Dalam materi statistika Anda akan mempelajari
tentang pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data, pengolahan data
sekaligus penganalisisan data dan pengambilan kesimpulan. Banyak sekali kan,
tapi tenang materi ini akan dikemas dalam bahasa yang mudah dimengerti. Dalam
artikel ini akan memuat rangkuman materi statistika disertai contoh soal dan
pembahasan yang dikemas secara detail sehingga Anda mudah mengerti dan
paham.
Statistika banyak diaplikasikan dalam bidang sosial,
pmerintahan, komputasi, bisnis ekonomi dan industri, sehingga materi
statistika ini akan sangat bermanfaat dimasa depan. Secara garis besar
rangkuman materi statistika meliputi Mean, Median, Modus, Jangkauan, Ragam,
dan Simpanan yang mana bisa dikatakan sebagai ilmu statistika dasar. Sebelum
Anda mempelajari materi statistika, lebih baik kita pelajari dan pahami
pengertian statistika.
Pengertian Statistika
Satatistika adalah sebuah ilmu yang mempelajari bagaimana mengumpulkan data,
menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data serta menarik
kesimpulan dan memberikan penafsiran. Sehingga bisa dikatakan statistika
adalah ilmu yang berkaitan dengan data.
Statistika adalah sebuah ilmu yang mempelajari bagaimana cara merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, lalu menginterpretasikan, dan akhirnya mempresentasikan data. source: wikipedia
Sebagai contoh menghitung rata-rata tinggi siswa, rata-rata nilai ujian, banyak siswa yang suka absen, menghitung tingkat penularan saat pandemi covid 19, dan masih banyak lainnya. Ketika Anda belajar statistika Anda harus memahami beberapa istilah berikut
- Populasi adalah seluruh objek yang dijadikan penelitian.
- Sampel adalah bagian dari populasi yang digunakan untuk menduga nilai parameter populasi
- Data adalah hasil objek yang dijadikan penelitian oservasi atau pengamatan terhadap suatu objek yang telah dikumpulkan. Data para perumusan ukuran statistika dibagi menjadi dua yaitu
- Data Tunggal adalah data yang disajikan dengan mendaftar satu per satu data.
- Data Kelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Dimana masing-masing kelas memiliki panjang interval yang sama.
Sebelum Anda mempelajari ukuran pemusatan data statitika, ada beberapa istilah yang harus Anda ketahui terkait data terdefinisi frekuensi atau kelompok untuk lebih jelasnya, perhatikan dan pahami penjelasan dibawah ini.
Istilah Penting Dalam Statistika
Ketika Anda nanti berhadapan dengan data yang terdistribusi frekuensi atau
kelompok, karena adanya kelas-kelas tertentu dalam tabel frekuensi, maka Anda
harus mempelajarari beberapa istilah penting dibawah ini, diantaranya:
Intervas Kelas
Interval Kelas adalah Interval yang memuat untuk menetapkan kelas-kelas dalam
distribusi. Interval kelas sering disebutkan hanya dengan kata interval atau
kelas saja. Misalnya:
53-56: Interval kelas pertama
57-60: Interval
kelas kedua
61-64: Interval kelas kediga dan selanjutnya
Batas Kelas
Batas Kelas adalah bilangan terkecil dan terbesar yang terdapat pada sebuah
interval kelas tertentu. Misalnya dari tabel contoh interval kelas:
Untuk
Interval kelas pertama:
Batas Kelas Bawah atau Batas Bawah:
53-0.5=52.5
Batas Kelas Atas atau Batas Atas: 56+0.5=56.5
Panjang Kelas
Panjang Interval Kelas atau Panjang Interval atau Panjang Kelas adalah selisih antara batas atas dengan batas bawah kelas sebuah tabel frekuensi. Misalnya panjang kelasnya: 56.5-52.5= 4.
Titik Tengah
Titik Tengah kelas atau Nilai Tengah adalah titik tengah interval kelas. Titik Tengah kelas atau Nilai Tengah adalah titik tengah interval kelas. Untuk mendapatkan titik tengah kelas yaitu dengan $\frac{\text{batas atas + batas bawah}}{2}$.
Jika Anda telah memahami beberapa istilah penting ini, Anda akan mudah menyelesaikan soal terkait ukuran pemusatan data statistika dibawah ini.
Ukuran Pemusatan Data Statistika
Ukuran Pemusatan data dalam statistika adalah sebuah nilai yang menggambarkan
sekumpulan data yang mempertimbangkan semua data dalam kelompok, tidak
terpengaruh nilai ekstrim, stabil dan mampu digunakan untuk analisi lebih
lanjut. Ukuran pemusatan data statistika yang sering digunakan adalah Mean,
Median dan Modus. Berikut ini penjelasannya
Mean ($\bar{x}$)
Mean atau rataan atau rata-rata didefinisikan sebagai jumlah semua data dibagi
banyaknya data. Mean atau rataan digunakan apabila sebaran data merata
atau nilai diantarnaya tidak berbeda jauh. Mean atau rata-rata biasa
dilambangkan dengan simbol $\bar{x}$. Mean atau rataan terbagi menjadi:
Mean Data Tunggal
Rumus Mean Data Tunggal adalah
$Mean (rata-rata)=\frac{\text{Jumlah Seluruh Data}}{\text{Banyaknya Data}}$
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n}$
atau
$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$
Keterangan
$\bar{x}$= mean atau rata-rata hitung
$x_{i}$=nilai sampel ke-i
$n$= jumlah sampel
Contoh Soal 1
Dari kelas A SMA di Bekasi, diambil sampel sebanyak 10 siswa secara acak, kemudian diukur tinggi badan para siswa tersebut. Setelah diukur berikut tinggi badan 10 siswa tersebut dalam ukuran cm: 167, 170, 172, 160, 168, 168, 169, 175, 178 dan 179. Tentukan rata-rata tinggi siswa kelas A?
Pembahasan
Diket: Tinggi para siswa: 170, 172, 160, 168, 168, 169, 175, 178 dan 17
n: 10
Ditanya: Tinggi rata-rata?
Jawab
$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$
$\rightarrow \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}$
$\rightarrow \bar{x}=\frac{167+170+172+160+168+168+169+175+178+179}{10}$
$\rightarrow \bar{x}=\frac{1706}{10}$
$\rightarrow \bar{x}=170,6$
Jadi tinggi rata-rata siswa kelas A SMA di Bekasi adalah 170,6 cm.
Mean Data Terdistribusi Frekuensi
Rumus Mean Data Terdistribusi Frekuensi adalah
$\bar{x}=\frac{f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+...+f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+...+f_{n}}$
atau
$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} f_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}f_{i}} $
Keterangan
$f_{i}$= frekuensi kelas ke-i
$x_{i}$=titik tengah kelas ke-i
Contoh Soal 2
Perhatikan tabel berikut ini
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 3-5 | 4 |
| 6-8 | 7 |
| 9-11 | 6 |
| 12-14 | 6 |
| 15-17 | 7 |
Tentukan mean atau rata-rata dari data tabel diatas?
Pembahasan
Diketahui:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 3-5 | 4 |
| 6-8 | 7 |
| 9-11 | 6 |
| 12-14 | 6 |
| 15-17 | 7 |
$\sum_{i=1}^{n}f_{i}=n=30$
Ditanya: Mean atau rata-rata?
Jawab:
Untuk mencari mean dan rata-rata Anda harus menentukan $x_{i}$ per kelas dengan cara dimana "$\frac{\text{batas kelas bawah}+ \text{batas kelas atas}}{2}$". Untuk lebih mempermudah Anda memahami saa akan membuatkan tabel saja.
| Nilai | Frekuensi | Titik Tengah $x_{i}$ | $f_{i}x_{i}$ |
|---|---|---|---|
| 3-5 | 4 | 4 | 16 |
| 6-8 | 7 | 7 | 49 |
| 9-11 | 6 | 10 | 60 |
| 12-14 | 6 | 13 | 78 |
| 15-17 | 7 | 16 | 112 |
| Total | 30 | 315 |
Sehingga didapat
$\bar{x}=\frac{\sum f_{i}x_{i}}{\sum f_{i}}$
$\rightarrow \bar{x}=\frac{315}{30}$
$\rightarrow \bar{x}= 10.5$
Rata-Rata Gabungan (Mean Gabungan)
Rumus Rata-Rata Gabungan (Mean Gabungan) adalah
$\bar{x}=\frac{n_{1}\bar{x}_{1}+n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}$
Keterangan:
$\bar{x}$= rata-rata gabungan
$\bar{x}_{1}$= rata-rata kelompok 1
$\bar{x}_{2}$= rata-rata kelompok 2
$n_{1}$= jumlah objek kelompok 1
$n_{2}$= jumlah objek kelompok 2
Contoh Soal 3
Nilai rata-rata ujian matematika dari 39 siswa adalah 45. Jika nilai Adi digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-rata ke-40 siswa menjadi 46. Tentukan nilai Adi
Pembahasan
Diketahui: $n_{1}=39$
$\bar{x}_{1}=45$
$n_{2}=40$
$\bar{x}_{2}=46$
Ditanya: nilai Adi?
Jawab:
Cara Biasa
$\bar{x}=\frac{\sum fx}{n}$
$\bar{x}_{1}=\frac{\sum fx}{n_{1}}$
$\rightarrow 45=\frac{\sum fx}{39}$
$\rightarrow \sum fx= 45.39$
$\rightarrow \sum fx= 1755$
$\bar{x}_{2}=\frac{\sum fx+\text{nilai Adi}}{n_{2}}$
$\rightarrow 46=\frac{1755+\text{nilai Adi}}{40}$
$\rightarrow 46.40=1755+\text{nilai Adi}$
$\rightarrow \text{nilai Adi}=1870-1755$
$\rightarrow \text{nilai Adi}=85$
Cara Cepat
Ingat rumus rata-rata gabungan (mean gabungan) diatas
"$\bar{x}=\frac{n_{1}\bar{x}_{1}+n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}$ ", maka
didapat
$\bar{x}=\frac{n_{1}\bar{x}_{1}+n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}$
$\rightarrow 46=\frac{39.45+1\bar{x}_{2}}{39+1}$
$\rightarrow 46.40=39.45+\bar{x}_{2}$
$\rightarrow \bar{x}_{2}=1870-1755$
$\rightarrow \bar{x}_{2}=85$
Jadi nilai Adi adalah $85$
Baca Juga: Materi Eksponen dan Logaritma
Contoh Soal 4
Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai ,ate,atika siswa pria dan wanita berturut-turut adalah 65 dan 54, maka tentukan perbandingan jumlah siswa pria dan wanita?
Pembahasan
Diketahui: misal pria: p
wanita: w
$\bar{x}=58$
$\bar{x}_{p}=65$
$\bar{x}_{w}=54$
Ditanya: perbandingan jumlah murid pria dan wanita?
Jawab:
Misal: $n_{p}$= jumlah pria
$n_{w}$= jumlah wanita
$\bar{x}_{p}=\frac{\sum x_{p}}{n_{p}}$
$\rightarrow 65=\frac{\sum x_{p}}{n_{p}}$
$\rightarrow \sum x_{p}= 65n_{p}$...................(1)
$\bar{x}_{w}=\frac{\sum x_{w}}{n_{w}}$
$\rightarrow 54=\frac{\sum x_{w}}{n_{w}}$
$\rightarrow \sum x_{w}=54n_{w}$....................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diatas masukan ke rumus rata-rata gabungan (mean gabungan) yaitu "$\bar{x}=\frac{n_{1}\bar{x}_{1}+n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1}+n_{2}}$", sehingga didapat
$\bar{x}=\frac{n_{p}\bar{x}_{p}+n_{w}\bar{x}_{w}}{n_{p}+n_{w}}$
$\rightarrow \bar{x}=\frac{\sum x_{p}+\sum x_{w}}{n_{p}+n_{w}}$
$\rightarrow 58=\frac{65n_{p}+54n_{w}}{n_{p}+n_{w}}$
$\rightarrow 58(n_{p}+n_{w})=65n_{p}+54n_{w}$
$\rightarrow 58n_{p}+58n_{w}=65n_{p}+54n_{w}$
$\rightarrow 58n_{w}-54n_{w}=65n_{p}-58n_{p}$
$\rightarrow 4n_{w}=7n_{p}$
$\rightarrow \frac{n_{p}}{n_{w}}=\frac{4}{7}$
Jadi perbandingan jumlah pria dan wanita adalah $4:7$
Median (Me)
Median adalah nilai tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil menuju yang terbesar. Median atau nilai tengah bisanya dilambangkan dengan simbol $Me$. Median sendiri dibagi menjadi
Median Data Tunggal
Dalam Median data tunggal dibedakan kembali berdasarkan jumlah banyak data sehingga terbagi menjadi 2 rumus yaitu:
Median Data Tunggal Jumlah Data Ganjil
Rumus Median data tunggal dengan jumlah data ganjil yaitu
$Me=x_{\frac{n+1}{2}}$
Median Data Tunggal Jumlah Data Genap
Rumus Median data tunggal dengan jumlah data genap yaitu
$Me=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$
Untuk lebih jelas dan paham perhatikan contoh soal tentang media data tunggal ganjil dan genap berikut ini.
Contoh Soal 5
Tentukanlah median dari data-data di bawah ini:
- data ke-1: 5, 6, 4, 1, 3, 9, 8, 7, 2
- data ke-2: 1, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8, 9
Pembahasan
Diketahui: data ke-1= 5, 6, 4, 1, 3, 9, 8, 10, 2
data ke-2= 1, 1, 2, 5, 4, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8, 9
Ditanya : Median data ke-1 dan ke-2?
Jawab:
Data ke-1
Untuk menentukan median dari data ke-1, Anda harus mengurutkan data tersebut dari terkecil hingga terbesar, maka didapat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10
rumus Median untuk data tunggal ganjil
$Me=x_{\frac{n+1}{2}}$
$\rightarrow Me=x_{\frac{9+1}{2}}$
$\rightarrow Me=x_{5}$ = data ke-5
Jadi mediannya adalah $5$.
Data Ke-2
Untuk menentukan median dari data ke-2, Anda harus mengurutkan data tersebut dari terkecil hingga terbesar, maka didapat
1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9
rumus median untuk data tunggal genap
$Me=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$
$\rightarrow Me=\frac{x_{\frac{16}{2}}+x_{\frac{16}{2}+1}}{2}$
$\rightarrow Me=\frac{x_{8}+x_{9}}{2}$
data ke-8= 6 dan data ke-9= 6, maka didapat
$\rightarrow Me=\frac{6+6}{2}$
$\rightarrow Me=\frac{12}{2}$
$\rightarrow Me=6 $
Jadi mediannya adalah $6$
Median Data Terdistribusi Frekuensi (Kelompok)
Jika diketahui data yang disediakan dalam bentuk data berkelompok yang memiliki panjang kelas. Untuk mencari Median atau nilai tengah Anda bisa menggunakan rumus berikut ini:
$Me= Bb+k\left ( \frac{\frac{n}{2}-\sum f_{kk}}{f_{m}} \right )$
Keterangan:
$Me$: Median atau nilai tengah
$Bb$: Batas bawah kelas median
$k$: panjang interval atau panjang kelas
$n$: jumlah data atau banyaknya data
$\sum f_{kk}$: Jumlah frekuensi sebelum kelas median
$f_{m}$: Frekuensi pada kelas median
Contoh Soal 6
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 4-7 | 8 |
| 8-11 | 10 |
| 12-15 | 16 |
| 16-19 | 40 |
| 20-23 | 16 |
| 24-27 | 10 |
Diketahui data umur seperti tabel diatas, tentukan median dari data umur diatas?
Pembahasan
Diketahui
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 4-7 | 8 |
| 8-11 | 10 |
| 12-15 | 16 |
| 16-19 | 40 |
| 20-23 | 16 |
| 24-27 | 10 |
$n= 100$
Ditanya: Median dari data umur tabel diatas?
Jawab
Kelas median: $16-19$
Batas Bawah Kelas (Bb)= $16-0.5=15.5$
Panjang kelas (k)= Batas Atas-Batas Bawah= $19.5-15.5=4$
$\sum f_{kk}$= $8+10+16=34$
Frekuensi kelas median $f_{m}$=$40$
maka didapat
$Me= Bb+k\left ( \frac{\frac{n}{2}-\sum f_{kk}}{f_{m}} \right)$
$\rightarrow Me= 15.5+4\left ( \frac{\frac{100}{2}-34}{40} \right)$
$\rightarrow Me= 15.5+4\left ( \frac{50-34}{40} \right)$
$\rightarrow Me= 15.5+4\left ( \frac{16}{40} \right)$
$\rightarrow Me= 15.5+\left ( \frac{16}{10} \right)$
$\rightarrow Me= 15.5+1,6$
$\rightarrow Me= 17.1$
Jadi median tabel umur diatas adalah $17.1$
Modus (Mo)
Modus adalah suatu data atau nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Modus biasa dilambangkan dengan simbol "Mo". Modus sendiri terbagi menjadi 2 yaitu
Modus Data Tunggal
Modus data tunggal adalah data yang sering muncul atau memiliki frekuensi
tertinggi. Cara mementukan modus dari data tunggal adalah melihat data yang
sering banyak muncul atau ditampilkan atau memiliki frekuensi tertinggi.
Contoh Soal 7
Tentukan modus dari data berikut: 1, 1, 2, 5, 4, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8, 9
Pembahasan
Diketahui: data: 1, 1, 2, 5, 4, 6, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8, 9
Ditanya: Modus?
Jawab
Perhatikan dengan seksama, maka modusnya adalah 6.
Jadi modus dari dta diatas adalah $6$.
Modus Data Kelompok
Modus data kelompok secara pengertian tidak berbeda jauh dengan modus data tunggal, hanya saja karena penyajiannya menggunakan atau terdistribusi secara frekuensi ada rumus untuk menghitungnya. Rumus untuk menghitung modus sata kelompok atau terdistribusi frekuensi yaitu:
$Mo= Bb+k\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )$
Keterangan:
$Mo$= Modus
$Bb$= Batas bawah kelas modus
$k$= panjang interval atau panjang kelas
$d_{1}$= selisih frekuensi kelasyang mengandung modus dengan kelas sebelumnya.
$d_{2}$= selisih frekuensi kelasyang mengandung modus dengan kelas sesudahnya.
Untuk lebih memudahkan Anda memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 8
Perhatikan tabel dibawah ini
| Pendapatan (Ratusan Ribu Rupiah) | Jumlah Orang Tua |
|---|---|
| 1-5 | 4 |
| 6-10 | 15 |
| 11-15 | 18 |
| 16-20 | 23 |
| 21-25 | 25 |
| 26-30 | 23 |
| 30-35 | 4 |
Dari data diatas, tentukan modus dari data pendapatan orang tua siswa?
Pembahasan
Diket:
| Pendapatan (Ratusan Ribu Rupiah) | Jumlah Orang Tua |
|---|---|
| 1-5 | 4 |
| 6-10 | 15 |
| 11-15 | 18 |
| 16-20 | 23 |
| 21-25 | 25 |
| 26-30 | 23 |
| 30-35 | 4 |
$n=112$
Ditanya: Mo?
Jawab:
Modusnya berada di kelas $21-25$
Bb (Batas Bawah)= $21-0.5=20.5$
$d_{1}$= $25-23=2$
$d_{2}$= $25-23=2$
$k$=$25.5-20.5=5$
Sehingga didapat
$Mo= Bb+k\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )$
$\rightarrow Mo= 20.5+5\left ( \frac{2}{2+2} \right )$
$\rightarrow Mo= 20.5+5\left ( \frac{1}{2} \right )$
$\rightarrow Mo= 20.5+2.5$
$\rightarrow Mo= 25$
Jadi modus dari data pendapatan orang tua siswa adalah $25$ yang berarti $\text{Rp 2.500.000,-} $
Ukuran Data
Ukuran Data bisa dikatakan sebagai ukuran letak sebuah data baik dalam data tunggal maupun berkelompok. Dalam ukuran data Anda akan mempelajari tentang Kuartil, Desil dan Persentil.Untuk lebih jelasnya mari baca dengan seksama dan pahami penjelasan dibawah ini.
Kuartil
Kuartil adalah ukuran letak data yang membagi data menjadi empat bagian sama
besar. Kuartil dilambangkan dengan huruf $Q$. Kuartil terbagi menjadi kuartil
pertama($Q_{1}$) kuartil kedua($Q_{2}$), dan kuartil ketiga($Q_{3}$). Tidak
hanya Mean, Median dan Modus, Kuartil terbagi menjadi
1. Kuartil Data Tunggal
Untuk menentukan kuartil data tunggal, Anda harus mempertimbangkan banyaknya daau jumlah data ($n$). Untuk menentukan kuartil data tunggal, Anda bisa menggunakan rumus berikut ini:
$Letak Q_{i}=x_{\frac{i(n+1)}{4}}$
Keterangan
Q_{i}= kuartil ke-i(1,2,3)
$i$=1, 2, 3
$n$= banyak atau jumlah data
Contoh Soal 9
Tentukan nilai $Q_{1}$, $Q_{2}$ dan $Q_{3}$ dari data berikut ini 2, 3, 4, 7, 8, 7, 16, 4, 8, 2, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12, 14.
Pembahasan
Diketahui:
Data: 2, 3, 4, 7, 8, 7, 16, 4, 8, 2, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12, 14
$n=19$
Ditanya: $Q_{1}$, $Q_{2}$ dan $Q_{3}$?
Jawab:
Kita urutkan datanya terlebih dahulu menjadi: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12, 14, 16
$Q_{1}$
$Letak dari Q_{1}=x_{\frac{1(n+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{1}=x_{\frac{1(19+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{1}=x_{5}$
Jadi $Q_{1}$ adalah data ke-5 yaitu $4$
$Q_{2}$
$Letak dari Q_{2}=x_{\frac{2(n+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{2}=x_{\frac{2(19+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{2}=x_{10}$
Jadi $Q_{2}$ adalah data ke-10 yaitu $7$
$Q_{3}$
$Letak dari Q_{3}=x_{\frac{3(n+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{3}=x_{\frac{3(19+1)}{4}}$
$\rightarrow Letak dari Q_{3}=x_{15}$
Jadi $Q_{3}$ adalah data ke-15 yaitu $9$
2. Kuartil Data Kelompok
Untuk menentukan kuartil pada data kelompok, Anda harus menggunakan Rumus Kuartil Data Kelompok
$Q_{i}= Bb+k\left ( \frac{\frac{i.n}{4}-\sum f_{kk}}{f_{Qi}} \right )$
Keterangan
Q_{i}= kuartil ke-i(1,2,3)
$Bb$= Batas bawah kelas kuartil ke-i
$i$=1, 2, 3
$\sum f_{kk}$= Jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil
$f_{Qi}$= frekuensi yang memuat kuartil
Desil
Desil adalah ukuran letak data yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar. Desil dilambangakan dengan huruf $D$. Untuk mencari desil, Anda harus menggunakan rumus berikut:
Desil Data Tunggal
$Letak D_{i}=x_{\frac{i(n+1)}{10}}$
Keterangan
D_{i}= kuartil ke-i
$i$=1, 2, 3,...,9
Desil Data Berkelompok
$D_{i}= Bb+k\left ( \frac{\frac{i.n}{10}-\sum f_{kk}}{f_{Di}} \right )
$
Keterangan
$Q_{i}$= kuartil ke-i
$Bb$= Batas bawah kelas desil ke-i
$i$=1, 2, 3,...,9
$\sum f_{kk}$= Jumlah frekuensi sebelum kelas desil
$f_{Qi}$= frekuensi yang memuat desil
Persentil
Persentil adalah ukuran letak data yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama besar. Persentil dilambangkan dengan huruf $P$. Untuk mencari persentil, Anda harus menggunakan rumus berikut:
Pesentil Data Tunggal
$Letak P_{i}=x_{\frac{i(n+1)}{100}}$
Keterangan
$P_{i}$= persentil ke-i
$i$=1, 2, 3,..., 99
Persentil Data Kelompok
$P_{i}= Bb+k\left ( \frac{\frac{i.n}{100}-\sum f_{kk}}{f_{Pi}} \right )
$
Keterangan
$P_{i}$= persentil ke-i
$Bb$= Batas bawah kelas persentil ke-i
$i$=1, 2, 3,...,99
$\sum f_{kk}$= Jumlah frekuensi sebelum kelas persentil
$f_{Pi}$= frekuensi yang memuat persentil
Contoh Soal 10
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 30-39 | 2 |
| 40-49 | 5 |
| 50-59 | 8 |
| 60-69 | 20 |
| 70-79 | 42 |
| 80-89 | 30 |
| 90-99 | 13 |
Tentukan Kuartil pertama dari data yang tersaji diatas?
Pembahasan
Diketahui:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 30-39 | 2 |
| 40-49 | 5 |
| 50-59 | 8 |
| 60-69 | 20 |
| 70-79 | 42 |
| 80-89 | 30 |
| 90-99 | 13 |
$n=120$
Ditanya: $Q_{1}$?
Jawab:
Kuartil Pertama ($\frac{i.n}{4}$) terletak di kelas $60-69$
$k$ (Panjang Kelas)= $69.5-59.5=10$
$\sum f_{kk}=2+5+8=15$
$f_{Qi}=20$
$Q_{i}= Bb+k\left ( \frac{\frac{i.n}{4}-\sum f_{kk}}{f_{Qi}} \right )$
$\rightarrow Q_{i}= 59.5+10\left ( \frac{\frac{1.120}{4}-15}{20} \right )$
$\rightarrow Q_{i}= 59.5+10\left ( \frac{30-15}{20} \right )$
$\rightarrow Q_{i}= 59.5+10\left ( \frac{15}{20} \right )$
$\rightarrow Q_{i}= 59.5+10\left ( 0.75 \right )$
$\rightarrow Q_{i}= 59.5+7.5$
$\rightarrow Q_{i}= 67$
Jadi kuartil pertama dari data diatas adalah $67$
Baca Juga: Materi Perbandingan
Ukuran Penyebaran Data
Setalah diatas, Anda belajar tentang ukuran data, kali ini Anda akan
mempelajari ukuran penyebaran data statistika. Ukuran penyebaran data
statistika menyajikan gambaran penyebaran data dari titik pemusatan atau nilai
tertentu. Berikut ini yang akan Anda pelajari mengenai ukuran penyebaran
data
Jangkauan
Jangkauan adalah selisih data terbesar dengan data terkecil. Jangkauan atau range disimbolkan dengan huruf $R$. Jangkauan terdiri dari
Jangkauan (Range) Data Tunggal
R= x_{maks}-x_{mins}
Jangkauan (Range) Data Kelompok:
R= nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah
Keterangan
Nilai terendah yang diambil dari nilai kelas yang terendah
Jangkauan (Range) Kuartil $(H)$
$H=Q_{3}-Q_{1}$
Jangkauan (Range) Semikuartil $(Q_{d})$
$Q_{d}=\frac{1}{2}(Q_{3}-Q_{1})=\frac{1}{2}H$
Simpangan Rata-Rata
simpangan rata-rata adalah sebuah nilai rata-rata dari selisih setiap data
dengan rata-rata hitung. Untuk menghitung simpangan rata-rata, Anda harus
menggunakan rumus sebagai berikut:
Simpangan Rata-Rata Data Tunggal
Untuk mencari Simpangan rata-rata pada data tunggal, Anda bisa menggunakan rumus dibawah ini
$S_{R}=\frac{1}{n}\sum_{i}^{n}\left | x_{i} -\bar{x}\right |$
Keterangan
$S_{R}$= Simpangan rata-rata
$n$=jumlah data
$x_{i}$= datake-i
$\bar{x}$= mean atau rata-rata
Simpangan Rata-Rata Data Kelompok
Untuk mencari Simpangan rata-rata pada data kelompok, Anda bisa menggunakan rumus dibawah ini
$S_{R}=\frac{1}{\sum_{i}^{n}f_{i}}\sum_{i}^{n}f_{i}\left | x_{i} -\bar{x}\right |$
Keterangan
$S_{R}$= Simpangan rata-rata
$\sum_{i}^{n}f_{i}$=jumlah frekuensi
$x_{i}$= data ke-i
$\bar{x}$= mean atau rata-rata
Simpangan Baku dan Ragam
Simpangan baku adalalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi jumlah data.
Simpangan Baku Data Tunggal
$S=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}}$
Simpangan Baku Data Kelompok
$S=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}f_{i}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{\sum_{i}^{n}f_{i}}}$
Ragam Data Tunggal
$S^{2}=\frac{\sum_{i}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{n}$
Ragam Data Kelompok
$S^{2}=\frac{\sum_{i}^{n}f_{i}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{\sum_{i}^{n}f_{i}}$
Contoh Soal
Kesimpulan
Itulah rangkuman materi statistika yang menjelasakan dari pengertian
statistika, istilah penting dalam dtatistika, mean, median, modus, kuartil,
desil, persentil, jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan ragam
yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan. Jika ada yang kurang atau
keliru dalam artikel materi statiska matematika ini atau ada yang ingin
ditanyakan, silahkan ketik di kolom komentar dibawah. Semoga materi ke-9 dari
pelajaran matematika SMA tentang statistika ini bermanfaat dan terima
kasih.
Post a Comment